Question

Срочнооо!!!! З точки а до площина а проведено перпендикуляр AB і AC. знайдіть відстань від точки а до площини а, якщо довжина відрізка BC дорівнює 10 см, а похилі AB і AC утворюють із площиної а кути по 45 градісів​

Answer 1

Задача вирішується за допомогою теореми про проекції векторів.

Позначимо точку А через (0,0,0), а вектор нормалі до площини АВС через n. Оскільки AB і AC утворюють з площиною АВС кути по 45 градусів, то вони мають однакову довжину та утворюють з вектором n кути по 45 градусів. З цього випливає, що вони лежать в площині, перпендикулярній вектору n.

Отже, вектори AB і AC лежать в площині, яка проходить через точку А та перпендикулярна вектору n. Позначимо цю площину через П. Вектор n також лежить в площині П, оскільки він перпендикулярний до неї.

Розглянемо трикутник ABC. Оскільки вектори AB і AC лежать в площині П, то їх проекції на площину П є векторами AB' і AC', які лежать в площині П. Оскільки відрізок ВС лежить в площині П, то його проекція на площину П є самим собою.

Тоді вектор, який йде від точки А до точки D (точки перетину перпендикуляра з площиною АВС), є сумою проекцій вектора АD на вектори AB', AC' та BC:

AD = AB' + AC' + BC

Тепер необхідно знайти величини AB', AC' та BC. Оскільки AB і AC мають однакову довжину та утворюють з вектором n кути по 45 градусів, то вони утворюють з площиною П кути по 45 градусів. Тому їх проекції на площину П також мають однакову довжину та утворюють з вектором n кути по 45 градусів. Отже, ми можемо записати:

|AB'| = |AC'| = AD cos 45 = AD / √2

Оскільки AB і AC утворюють з площиною А кути по 45 градусів, то вони рівні між собою: AB = AC.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою BC і катетами AB і AC маємо:

BC² = AB² + AC²

Оскільки AB = AC, то можна записати:

BC² = 2AB²

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABD з гіпотенузою BD і катетом AB маємо:

BD² = AB² + AD²

Оскільки AD = h, то можна записати:

BD² = AB² + h²

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ACD з гіпотенузою CD і катетом AC маємо:

CD² = AC² + AD²

Оскільки AD = h і AC = AB, то можна записати:

CD² = AB² + h²

Оскільки BC = 10 см і за попередніми розрахунками AB² = CD² = 2h², то можемо записати:

100 = 4h²

Звідси:

h² = 25

Отже, h = 5 см.

Тоді, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику BDC з гіпотенузою BC і катетами BD і CD маємо:

BC² = BD² + CD²

Підставляючи значення BD² = AB² + h² і CD² = AB² + h², отримуємо:

100 = 2AB² + 2h²

Звідси:

AB² = (100 - 2h²)/2 = 37,5

Отже, AB = AC = √37,5.

Тоді за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою BC і катетами AB і AC маємо:

BC² = 2AB² = 2AC²

Підставляючи значення AB = AC = √37,5, отримуємо:

BC² = 2·37,5 = 75

Звідси:

BC = √75 = 5√3.

Отже, довжина відрізка ВС дорівнює 2·BC = 10√3 см.

Answer 2

Щоб знайти відстань від точки А до площини А, ми можемо скористатися властивістю перпендикулярів, яка говорить, що відрізок, опущений з точки на площину, є найкоротшим відстанню між цією точкою і площиною.

У даному випадку, відрізок BC є перпендикуляром, опущеним з точки А на площину. За вимогою, довжина відрізка BC дорівнює 10 см.

Оскільки AB і AC утворюють кути по 45 градусів з площиною, ми можемо вважати їх довжини рівними. Позначимо цю довжину як х.

Таким чином, утворюється прямокутний трикутник ABC, де AB = AC = х, BC = 10 см.

Застосуємо теорему Піфагора до цього трикутника:

AB² + BC² = AC²

х² + 10² = х²

100 = х² - х²

100 = 0

Отримали протиріччя. Отже, дана задача не має розв'язку.

Можливо, виникла помилка в умові задачі або невірно передані дані. Будь ласка, перевірте умову задачі і надайте правильні дані, якщо це можливо.