Question

Найти производную функции y=e^x*arctg*x

Answer 1

Будем считать, что в условии опечатка, и оно должно выглядеть так  $y=e^x arctg(x)$
${\left({e^{x} {arctg\left({x}\right)}}\right)'={\frac{ {{e}^{x}} {arctg\left({x}\right)} {{x}^{2}}+{{e}^{x}}+ {{e}^{x}} {arctg\left({x}\right)}}{1+{{x}^{2}}}}}={\frac{ {{e}^{x}}( {arctg\left({x}\right)} {{x}^{2}}+1+ {arctg\left({x})\right)}}{1+{{x}^{2}}}}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = e^x \cdot \arctan(x)$ используем правило производной произведения.

Для первого слагаемого $e^x$ производная равна самому слагаемому, то есть $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.

Для второго слагаемого $\arctan(x)$ можно использовать правило производной обратной функции. Производная $\arctan(x)$ равна $\frac{1}{{1+x^2}}$.

Теперь возьмем производную произведения двух функций:

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(e^x \cdot \arctan(x)) &= \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \arctan(x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(\arctan(x)) \\ &= e^x \cdot \arctan(x) + e^x \cdot \frac{1}{{1+x^2}} \\ &= e^x \left(\arctan(x) + \frac{1}{{1+x^2}}\right) \end{aligned}$$

Таким образом, производная функции $y = e^x \cdot \arctan(x)$ равна $e^x \left(\arctan(x) + \frac{1}{{1+x^2}}\right)$.