Question

скорость движения тела изменяется по закону v(t)=(3t^2+t+1) найти путь пройденный телом за 4 сек от начала движения решение с применением интеграла

Answer 1

Ответ:

S = 80 м

Пошаговое объяснение:

Скорость

v(t) = 3t² + t + 1

Путь

$S = \int\limits^4_0 {(3t^{2} + t + 1)} \, dt = ( t^{3} +0.5t^{2} + t)\Big|_0^4= 4^3 + 0.5\cdot 4^2 + 4 = 64 + 8 + 8 = 80~(m)$

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного телом, мы должны интегрировать выражение для скорости относительно времени. Зная скорость v(t), мы можем выразить путь s(t) как интеграл скорости от начального времени t=0 до конечного времени t=4:

s(t) = ∫[0 to t] v(t') dt'

Где v(t') - это скорость в момент времени t'.

В данном случае скорость v(t) = 3t^2 + t + 1. Подставим это выражение в интеграл:

s(t) = ∫[0 to t] (3t'^2 + t' + 1) dt'

Чтобы интегрировать это выражение, нам нужно найти первообразную каждого слагаемого и подставить пределы интегрирования.

Интеграл ∫t'^2 dt' = (1/3) t'^3 + C1 Интеграл ∫t' dt' = (1/2) t'^2 + C2 Интеграл ∫1 dt' = t' + C3

Где C1, C2 и C3 - постоянные интегрирования.

Теперь выразим путь s(t):

s(t) = ∫[0 to t] (3t'^2 + t' + 1) dt' = ∫[0 to t] 3t'^2 dt' + ∫[0 to t] t' dt' + ∫[0 to t] 1 dt' = (1/3) t'^3 + (1/2) t'^2 + t' + C

Теперь мы можем вычислить путь, пройденный телом за 4 секунды, подставив t=4 в выражение для s(t):

s(4) = (1/3) 4^3 + (1/2) 4^2 + 4 + C = (1/3) 64 + (1/2) 16 + 4 + C = 64/3 + 8 + 4 + C = 80/3 + C

Таким образом, путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен (80/3 + C) единицам длины, где C - постоянная интегрирования.