Question

Линейные диеференцивальное уравнение y'+2y=4x

Answer 1

Ответ:

y(x)=2*x+C*e^(-2*x)-1.

Пошаговое объяснение:

Полагая y(x)=u(x)*v(x) и перенося 4*x в левую часть, приходим к уравнению u'*v+u*v'+2*u*v-4*x=0. Перепишем его в виде v*(u'+2*u)+u*v'-4*x=0. Так как одной из функций u или v можно распорядиться произвольно, то поступим так с u и положим, что она удовлетворяет уравнению u'+2*u=0. Это уравнение приводится к виду du/u=-2*dx. Интегрируя последнее уравнение, находим ln/u/=-2*x, откуда u=e^(-2*x). Так как  (u'+2*u)+u*v'-4*x=0 и при этом u+2*u'=0, то u*v'-4*x=0, или u*v'=4*x. Подставляя сюда u=e^(-2*x), приходим к уравнению v'=4*x*e^(2*x), или dv=4*x*e^(2*x)*dx. Интегрируя это уравнение методом "по частям", находим v=2*x*e^(2*x)-e^(2*x)+C. Отсюда y=u*v=e^(-2*x)*[2*x*e^(2*x)-e^(2*x)+C]=2*x+C*e^(-2*x)-1. Ответ: y(x)=2*x+C*e^(-2*x)-1.

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 2y = 4x, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Шаги решения будут следующими:

Шаг 1: Найдите интегрирующий множитель. Уравнение имеет вид y' + 2y = 4x. Коэффициент при y равен 2, поэтому мы ищем множитель в виде μ(x), умножая уравнение на μ(x): μ(x)(y' + 2y) = μ(x) * 4x

Шаг 2: Упростите уравнение. Раскроем скобки: μ(x)y' + 2μ(x)y = 4μ(x)x

Шаг 3: Выберите множитель μ(x). Множитель μ(x) выбирается таким образом, чтобы левая часть уравнения была полной производной относительно x. В данном случае мы видим, что μ(x) должно быть обратной функцией к 2y. То есть, μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x).

Шаг 4: Умножьте уравнение на μ(x). После умножения уравнения на μ(x), получим: e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4x * e^(2x)

Шаг 5: Приведите уравнение к производной функции. Теперь левая часть уравнения является производной от произведения μ(x) и y по x: (e^(2x)y)' = 4x * e^(2x)

Шаг 6: Проинтегрируйте обе стороны уравнения. Интегрируя обе стороны уравнения, получим: ∫ (e^(2x)y)' dx = ∫ (4x * e^(2x)) dx

Левая часть интеграла может быть вычислена с использованием формулы интегрирования производной функции: e^(2x)y = 2x * e^(2x) + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 7: Решите уравнение относительно y. Делаем y предметом формулы: y = (2x * e^(2x) + C) / e^(2x)

Таким образом, решение исходного линейного дифференциального уравнения y' + 2y = 4x будет иметь вид: y = (2x * e^(2x) + C) / e^(2x), где C - произвольная постоянная.