Question

Вычислить интеграл dx / sin^2x

Answer 1

Ответ:

= - ctgx+С

Пошаговое объяснение

табличный интеграл

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, можно воспользоваться заменой переменной. Проведем замену u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

После замены интеграл примет вид: ∫(dx / sin^2x) = ∫(-du / (1 - u^2))

Заметим, что новый интеграл связан с интегралом от дробно-рациональной функции. Для его вычисления воспользуемся методом частных дробей.

Разложим функцию 1 / (1 - u^2) на простейшие дроби: 1 / (1 - u^2) = A / (1 - u) + B / (1 + u)

Домножим обе части на (1 - u^2) и приведем к общему знаменателю: 1 = A(1 + u) + B(1 - u) 1 = (A + B) + (A - B)u

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях u, получаем: A + B = 0 A - B = 1

Решая эту систему уравнений, найдем значения A и B: A = 1/2 B = -1/2

Теперь мы можем записать исходный интеграл в виде суммы двух интегралов: ∫(-du / (1 - u^2)) = ∫(1/2 du / (1 - u)) + ∫(-1/2 du / (1 + u))

Интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим: (1/2)ln|1 - u| - (1/2)ln|1 + u| + C

Возвращаясь к исходной переменной x, подставляем u = cos(x): (1/2)ln|1 - cos(x)| - (1/2)ln|1 + cos(x)| + C

Таким образом, окончательный ответ: (1/2)ln|1 - cos(x)| - (1/2)ln|1 + cos(x)| + C