Question

Интеграл x^4 dx / x^2 +1

Answer 1

Т.к. степень числителя больше степени знаменателя, то нужно разделить числитель на знаменатель
x⁴/(x²+1)=x²-1+1/(x²+1)
∫x⁴dx/(x²+1)=∫(x²-1+1/(x²+1))dx=∫x²dx-∫dx+∫dx/(x²+1)=x³/3-x+arctgx+C
                           


    

Answer 2

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом частичного интегрирования и замены переменной. Давайте разберемся, как это сделать.

Сначала, мы можем раскрыть дробь в знаменателе, используя длинную делительную стенку:

x^4 dx / (x^2 + 1) = x^4 dx / ((x + i)(x - i))

Затем мы можем разложить дробь на простые дроби:

x^4 dx / ((x + i)(x - i)) = (A(x + i) + B(x - i)) dx / (x^2 + 1)

где A и B - это коэффициенты, которые мы должны найти. Умножая обе части этого уравнения на (x^2 + 1) и заменяя x на i, мы можем найти значение B:

B = (i^4) / (2i) = -i/2

Аналогично, заменяя x на -i, мы можем найти значение A:

A = (-i^4) / (-2i) = i/2

Теперь мы можем подставить эти коэффициенты обратно в нашу дробь:

x^4 dx / (x^2 + 1) = (i/2) * (x + i) dx - (i/2) * (x - i) dx

Используя этот результат, мы можем вычислить интеграл:

∫ x^4 dx / (x^2 + 1) = (i/2) * ∫ (x + i) x^4 dx / (x^2 + 1) - (i/2) * ∫ (x - i) x^4 dx / (x^2 + 1)

Для каждого из этих двух интегралов мы можем сделать замену переменной, положив u = x^2 + 1, тогда du/dx = 2x dx, и x dx = du / (2x):

∫ (x + i) x^4 dx / (x^2 + 1) = (i/2) * ∫ (u - 1) (u - 1)^2 du / 2x = (i/4) * ∫ (u - 1)^3 du

∫ (x - i) x^4 dx / (x^2 + 1) = -(i/2) * ∫ (u + 1) (u - 1)^2 du / 2x = -(i/4) * ∫ (u^3 - 3u) du

Теперь мы можем решить эти интегралы, используя формулу для степенных функций:

∫ (u - 1)^3 du = (u^4 / 4) - (u^3 / 3) + (u^2 / 2) - u + C

∫ (u^3 - 3u) du = (u^4 / 4) - (