Question

Найти единичный вектор р, одновременно перпендикулярный к вектору а(14,6,8) и к оси абсцисс

Answer 1

Вектор а = {14, 6, 8}
Пусть вектор Ox - базисный вектор по оси абсцисс
Тогда координаты вектора Ох = {1, 0, 0}
Пусть вектор p = {x, y, z}

Координаты вектора а имеем право сократить на одно число, так как нам не важна длина векторов, исключительно их взаимное расположение. Сократим на 2
а = {7, 3, 4}

Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Составим систему:
p * Ox = 0
p * a = 0

Распишем скалярные произведения через координаты:
x*1 + y*0 + z*0 = 0
x*7 + y*3 + z*4 = 0

Из первого уравнения сразу же находим x=0. Подставим это во второе уравнение:
0*7 + 3y + 4z = 0
3y + 4z = 0
z = -3/4y

Также не забываем что вектор должен быть единичным, то есть длина вектора равна 1 (корень сразу сократил, т.к. равенство единице):
x^2 + y^2 + z^2 = 1

Получили два уравнения
z = -3/4y
y^2 + z^2 = 1

Подставляем 1 во второе:
y^2 + 9/16y^2 = 1
25/16y^2 = 1
y^2 = 16/25
y = 4/5; y = -4/5
z = - 3/5; z = 3/5

Получили два вектора:
p1 = {0, 0.8, -0.6}
p2 = {0, -0.8, 0.6}

Можно заметить, что эти два вектора противоположно направлены, то есть по сути они лежат на одной прямой, перпендикулярной и вектор а, и оси абсцисс.


Ответ: {0, 0.8, -0.6} или {0, -0.8, 0.6}

Answer 2

Для найти единичный вектор p, перпендикулярный вектору a(14, 6, 8) и оси абсцисс, мы можем использовать процесс ортогонализации.

1. Найдем проекцию вектора a на ось абсцисс. Для этого у нас есть формула проекции вектора b на вектор a: proj_a(b) = (b * a) / (||a||^2) * a, где "proj_a(b)" - проекция вектора b на вектор a, "*" - скалярное произведение векторов, "||a||" - длина вектора a. В данном случае вектор b это ось абсцисс, то есть b = (1, 0, 0).

   proj_a(b) = ((1, 0, 0) * (14, 6, 8)) / (||(14, 6, 8)||^2) * (14, 6, 8)

2. Вычтем проекцию из вектора b, чтобы получить ортогональный компонент:

   p = b - proj_a(b)

3. Нормализуем полученный вектор p, чтобы получить единичный вектор:

   p_normalized = p / ||p||, где "||p||" - длина вектора p.

Выполним вычисления:

||a|| = sqrt(14^2 + 6^2 + 8^2) = sqrt(296) = 2*sqrt(74)

proj_a(b) = ((1, 0, 0) * (14, 6, 8)) / (2*sqrt(74))^2 * (14, 6, 8) = (14) / (296) * (14, 6, 8) = (196/296, 84/296, 112/296) = (49/74, 21/74, 28/74)

p = (1, 0, 0) - (49/74, 21/74, 28/74) = (74/74, -21/74, -28/74) = (1, -21/74, -14/37)

||p|| = sqrt(1^2 + (-21/74)^2 + (-14/37)^2) = sqrt(1 + 441/5476 + 196/1369) = sqrt((5476 + 441 + 196) / 5476) = sqrt(6113 / 5476) = sqrt(6113) / sqrt(5476) ≈ 1.244

p_normalized = (1, -21/74, -14/37) / 1.244 ≈ (0.803, -0.590, -0.090)

Таким образом, единичный вектор p, перпендикулярный вектору a(14, 6, 8) и оси абсцисс, примерно равен (0.803, -0.590, -0.090).