Question

Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 24, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.

Answer 1

Ответ:

1512

Пошаговое объяснение:

Если число делится на 24, то оно делится одновременно на 8 и на 3. Делимость на 3 означает, что сумма цифр числа так же делится на 3. Рассмотрим возможные суммы цифр.

Пусть сумма цифр равна 3. Тогда произведение цифр равно 4. Произведение равно 4, когда число составлено из цифр 1, 1, 1, 4 или 1, 1, 2, 2. В обоих случаях сумму цифр, равную 3, получить нельзя.

Пусть сумма цифр равна 6. Тогда произведение цифр равно 7. Произведение 7 можно получить из набора 1, 1, 1, 7, из которого нельзя получить сумму 6.

Пусть сумма цифр равна 9. Тогда произведение цифр равно 10. Его можно получить из набора 1, 1, 2, 5. В этом случае можно получить нужную сумму цифр. Будем составлять число из данного набора. Делимость на 3 уже учтена. Для делимости на 8 подходит число 1512. Оно удовлетворяет всем условиям задачи.

Answer 2

Пусть искомое число имеет вид $\overline{abcd}$. Тогда оно кратно 24, значит, $d$ должно быть четным и выполняться условие $10c+d \equiv 0 \pmod 8$. Также из условия следует, что $a+b+c+d=abcd-1$.

Рассмотрим возможные значения $d$. При $d=2$ имеем $10c+2 \equiv 0 \pmod 8$, откуда $c$ должно быть нечетным. Подставляя $d=2$ во второе уравнение, получаем $a+b+c=2abc-2$. Взяв модуль от обеих частей и перегруппировав слагаемые, получаем $$2abc-(a+b+c)=2.$$ По неравенству АМ-ГМ имеем: $$2abc-(a+b+c)\leq 2\sqrt{2abc(a+b+c)}-(a+b+c) \leq 2\sqrt{2abcd}- (a+b+c).$$ Заметим, что $2\sqrt{2abcd} = 4\sqrt{abcd}$ не превосходит $4\cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 2916$, то есть $2abc-(a+b+c)\leq 2916 -(a+b+c)$. Осталось заметить, что $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} = 3\sqrt[3]{24d} > 3\sqrt[3]{24\cdot 2}>10$, поэтому $2916-(a+b+c) < 2906$, то есть имеется не более 2905 возможных значений $2abc-(a+b+c)$. Значит, мы можем перебрать все четырехзначные числа, заканчивающиеся на 2 и удовлетворяющие условию $10c+2 \equiv 0 \pmod 8$, и проверить, какое из них подходит. При таком переборе мы находим, что возможные варианты для числа $\overline{abcd}$ — это 2628 и 2916.

При $d=4$ имеем $10c+4 \equiv 0 \pmod 8$, откуда $c$ должно быть четным. Подставляя $d=4$ во второе уравнение, получаем $a+b+c=4abc-1$. Заменяем $c$ на $2k$ и делим обе части уравнения на 2: $$\frac{a+b}{2}+k=2abk-\frac12.$$ По неравенству АМ-ГМ имеем: $$\frac{a+b}{2}+k \leq \sqrt{\frac{(a+b+2k)^2}{4}} = \sqrt{(4abc-1)^2/4} = (4abc-1)/2\sqrt{3}.$$ Таким образом, $$(4abc-1)/2\sqrt{3} \geq 2abk - \frac12 \geq 2\sqrt{abk} - \frac12,$$ и, возводя обе части последнего неравенства в квадрат, получаем $$(4abc-1)^2/12 \geq abk \geq 1/4.$$ Заметим, что $abk \leq 27$, а значит, $(4abc-1)^2 \leq 324$. Мы можем перебрать все возможные значения $c$, а затем для каждого значения $c$ перебрать возможные значения $a$ и $b$ и проверить, какие из них удовлетворяют этому неравенству. При таком переборе мы находим, что возможных вариантов для числа $\overline{abcd}$ с $d=4$ нет.

Итак, мы получили, что возможными вариантами для числа $\overline{abcd}$ являются 2628 и 2916.