Question

На пяти карточках написаны отличные от нуля цифры (необязательно различные). Разложив карточки в ряд, Миша составил самое большое пятизначное число из возможных. Используя все те же карточки, Егор составил самое маленькое пятизначное число. Сумма получившихся чисел оказалась равна 139992. Чему могла быть равна их разность? Если вариантов несколько, то запишите в ответ наибольшее значение разности.​

Answer 1

Ответ:

59994

Пошаговое объяснение:

этими числами были 99993 и 39999

а их разность соответственно 59994

Answer 2

Обозначим пять чисел на карточках за $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e.$ Согласно условию, Миша составил самое большое пятизначное число, следовательно, он использовал наибольшие цифры для разрядов сотен, десятков тысяч и единицы тысяч, а наименьшие — для единиц и десятков. Егор же составил наименьшее пятизначное число, следовательно, он использовал наименьшие цифры для разрядов сотен, десятков тысяч и единицы тысяч, а наибольшие — для единиц и десятков.
Максимальное число, которое может составить Миша, — это число, где наибольшая цифра из предоставленных будет на первом месте, следующая по величине — на втором месте и т.д. Отсюда:
$$a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + e$$
Минимальное число, которое может составить Егор, — это число, где наименьшая цифра из предоставленных будет на первом месте, следующая по величине — на втором месте и т.д. Отсюда:
$$e \cdot 10^4 + d \cdot 10^3 + c \cdot 100 + b \cdot 10 + a$$
Согласно условию, эти числа в сумме дают $139992:$
$$a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + e + e \cdot 10^4 + d \cdot 10^3 + c \cdot 100 + b \cdot 10 + a = 139992$$
$$10001a + 1010b + 200c + 101d + 10001e = 139992$$
$$10001(a+e) + 1010(b+d) + 200c = 139992$$
Т.к. $10001(a+e) + 1010(b+d) + 200c \equiv 0 \pmod{2},$ то $139992$ также должно быть чётным. Это возможно только если $a+e$ — чётное. Рассмотрим два случая:

1) $a+e$ — чётное:

Максимальная сумма, которую можно получить в этом случае, — это когда $a=9$ и $e=8$ (наибольшие возможные цифры), а $b,$ $c$ и $d$ равны оставшимся цифрам. Получим:
$$10001\cdot 9 + 1010(b+d) + 200c + 10001\cdot 8 = 139992$$
$$b+d+8+c=23$$
Минимальная сумма, которую можно получить в этом случае, — это когда $a=1$ и $e=0$ (наименьшие возможные цифры), а $b,$ $c$ и $d$ равны оставшимся цифрам. Получим:

\begin{align*}
&10001\cdot 1 + 1010(b+d) + 200c + 10001\cdot 0 = 139992 \\
\Rightarrow\ &b+d+c=137
\end{align*}

2) $a+e$ — нечётное:

Если $a+e$ — нечётное, то наибольшие возможные цифры для $a$ и $e$ отличаются на 1, например, $a=9$ и $e=7.$ Тогда:
$$10001\cdot 9 + 1010(b+d) + 200c + 10001\cdot 7 = 139992$$
$$b+d+7+c=14$$
Наименьшие возможные цифры для $a$ и $e$ — это 1 и 0, соответственно, тогда:
\begin{align*}
&10001\cdot 1 + 1010(b+d) + 200c + 10001\cdot 0 = 139992 \\
\Rightarrow\ &b+d+c=138
\end{align*}
Таким образом, наименьшее возможное значение разности равно $b+d+c-23,$ а наибольшее возможное значение разности равно $b+d+c-137.$ Ответ: $\boxed{114}.$