Question

решите уравнение плиз:cos2x-cos8x+cos6x=1

Answer 1

cos2x-cos8x+cos6x=1

одз: x принадлежит R

cos2x+cos6x=1+cos8x

2cos4xcos2x=2cos^2 4x

2cos4xcos2x-2cos^2 4x=0

2cos4x(cos2x-cos4x)=0

cos4xsin3xsinx=0

cos4x=0

sin3x=0

sinx=0

х=п/8=пn/4, n принадлежит Z

x=пk/3.k принадлежит Z

x=2пm.m принадлежит Z

Ответ: П/8+Пn/4;Пk/3; 2пm. n,k,m принадлежит Z

 

у меня получилось так

Answer 2

Используем формулу косинуса суммы и разности:

cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)

cos2x = cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)
cos6x = cos(2x + 4x) = cos(2x)cos(4x) - sin(2x)sin(4x)
cos8x = cos(6x + 2x) = cos(6x)cos(2x) - sin(6x)sin(2x)

Тогда исходное уравнение примет вид:

cos^2(x) - sin^2(x) - cos(6x)cos(2x) + sin(6x)sin(2x) + cos(2x)cos(4x) - sin(2x)sin(4x) = 1

Перепишем это уравнение, используя тождество:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

(cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos(2x)cos(4x) + sin(2x)sin(4x)) - (cos(6x)cos(2x) - sin(6x)sin(2x)) = 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

2cos^2(x) + cos(2x)cos(4x) + sin(2x)sin(4x) - cos(6x)cos(2x) + sin(6x)sin(2x) - 1 = 0

Применим формулу косинуса суммы для cos(2a) и cos(4a):

cos(2a)cos(4a) = (cos^2(a) - sin^2(a))(2cos^2(a) - 1)

Тогда продолжаем раскрытие скобок:

2cos^2(x) + (cos^2(2x) - sin^2(2x))(2cos^2(2x) - 1) + 2sin(2x)cos(2x)(sin(2x)cos(2x) - sin(6x)) - 1 = 0

Упростим выражения в скобках:

2cos^2(x) + 2cos^4(2x) - 3cos^2(2x) + 2sin(2x)cos(2x)(sin(2x)cos(2x) - sin(6x)) - 1 = 0

Вынесем 2cos^2(x) за скобку и преобразуем выражение в скобках:

2cos^2(x)(1 + 2cos^2(2x) - 3/2) + 2sin(2x)cos(2x)(sin(2x)cos(2x) - sin(6x)) - 1 = 0

Упростим выражение в первой скобке:

2cos^2(x)(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1/2)

2(2cos^2(x) - 1)(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1/2)

Упростим выражение во второй скобке, используя формулу разности синусов и замена cos(6x) через cos(2x):

2[sin(2x)cos(2x)(sin(2x)cos(2x) - sin(6x))] = 2sin(2x)cos(2x)(sin(2x)cos(2x) - 2cos^2(2x)sin(2x)) = 2sin(2x)cos(2x)sin(2x)(cos^2(2x) - 2)

Тогда исходное уравнение примет вид:

2(2cos^2(x) - 1)(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1/2) + 2sin(2x)cos(2x)sin(2x)(cos^2(2x)