Question

дан куб авсда1в1с1д1 Докажите что в данном кубе прямая АВ Перпендикулярна к плоскости ВСС1

Answer 1

В кубе ребро АВ⊥ВС и АВ⊥ВВ1.

ВС и ВВ1 пересекаются.

Прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости ВСС1В1 ⇒

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости : АВ⊥пл.ВСС1 .

Answer 2

Условие не полностью корректно, поэтому предположим, что точки А, В, С, D находятся на вершинах куба, а также, что координаты данных точек известны.

Требуется доказать, что прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСС1.

Пусть С (x, y, z) - координаты точки С, а В (x, y, z - a) - координаты точки В (a – длина ребра куба). Тогда вектор ВС (0, 0, a – z) и вектор ВС1 (a – x, 0, 0). Их скалярное произведение равно нулю:

(0, 0, a – z) * (a – x, 0, 0) = 0.

Вектор АВ (x - x, y - y, z - (z - a)) = (0, 0, a) также ортогонален вектору ВС. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСС1.

Полученная выше формула предполагает, что точки А, В и С не лежат в одной плоскости, то есть куб не вырожден.