Question

Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию.Если второе из них уменьшить на 1, а первое и третье оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия, первый член которого совпадает со знаменателем.Найдите разность данной арифметической прогрессии.

Answer 1

пусть первое число q, второе q+d и третье q+2d

q^2=q+d-1

q^3=q+2d

q*(q-1)=d-1

q*(q^2-1)=2d

q+1=2d/(d-1)

(2*d/(d-1)-1)*(2*d/(d-1)-2)=d-1. Отсюда легко найти d=3, имеем q=2

 Числа 2, 5, 8 образуют арифметическую прогрессию, числа 2,4,8 — геометрическую

Answer 2

Обозначим первое число в арифметической прогрессии через $a$, а разность этой прогрессии через $d$. Тогда второе число будет равно $a+d$, а третье $a+2d$.

Если второе число уменьшить на 1, то получим $a+d-1$.

Также из условия следует, что знаменатель геометрической прогрессии равен первому числу арифметической прогрессии, то есть $a$.

Из определения геометрической прогрессии следует, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на фиксированное число $q$. Таким образом, имеем уравнение:

$$a+d-1 = aq$$

Также из условия следует, что третье число равно $aq^2$. Подставляем $a$ и $d$ из предыдущего уравнения и получаем:

$$a+2d = aq^2$$

Теперь можно решить эту систему уравнений относительно $a$ и $d$:

$$\begin{cases} a+d-1 = aq \\ a+2d = aq^2 \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго и получаем:

$$d+1 = a(q^2-q)$$

Подставляем это выражение для $d$ в первое уравнение:

$$a + (a(q^2-q)-1) = aq \\ aq^2 - 2aq + 1 = 0 \\ (q-1)^2 = 0$$

Откуда $q=1$ и система имеет единственное решение $a=d=1$. Значит, разность данной арифметической прогрессии равна 1.