Question

Треугольник ABC равнобедренный прямоугольный (угол ВАС равен 90°), BC=3см. Точка L лежит на стороне AB, точки E и К лежат на стороне BC, а точка D лежит на АС так, что LEKD- квадрат. Найдите стороны квадрата LEKD.

Answer 1

Прямоугольник как видим равнобедренный!
Значит угол ABC=ACB=1/2*(180°-90°)=45°
Треугольник DKC равнобедренный, т.к. угол DKC=90°, DCK=45° , KDC=45° следовательно
DK=KC, тоже и для треугольника BLE.
LE=EK=KD=DL - стороны квадрата.
так как KC=BE, то и EK будет равен им!
BC=3см делим на 3 и получаем, что сторона
квадрата равна 1см.

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол ВАС равен 90°, то по теореме Пифагора имеем:

AB² = AC² - BC² = AC² - 9.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC, откуда AB² = AC². Поэтому:

AC² - 9 = AC²,

откуда AC = 3 см.

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным равнобедренным треугольником со стороной AC, равной 3 см.

Так как LEKD- квадрат, то сторона квадрата LEKD равна стороне треугольника LED. Обозначим эту сторону через x.

Из пропорциональности треугольников LED и ABC получаем:

LE/AC = x/3,

откуда LE = x/3 * AC = x см.

Из подобия треугольников LEB и BKC получаем:

LE/BC = EB/KC,

откуда EB = LE * BC / KC = (x/3) * 3 / (AC - x) = x / (AC - x) см.

Аналогично, из подобия треугольников KCD и ABC получаем:

KD/AC = DC/BC,

откуда KD = DC * AC / BC = (BC - KC) * AC / BC = (3 - x/3) * 3 / 3 = 3 - x/3 см.

Так как KD = LE = x, то:

x = 3 - x/3,

откуда x = 9/4 см.

Таким образом, сторона квадрата LEKD равна 9/4 см.