Question

В убывающей арифметической прогрессии a3+a7=6 и a3×a7=8 Найти S16

Answer 1

$\begin{cases}a_3+a_7=6\\a_3\cdot a_7=8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1+2d+a_1+6d=6\\(a_1+2d)(a_1+6d)=8\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}2a_1+8d=6\\a_1^2+8a_1d+12d^2=8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1=3-4d\\(3-4d)^2+8d(3-4d)+12d^2=8\end{cases}\\(3-4d)^2+8d(3-4d)+12d^2=8\\9-24d+16d^2+24d-32d^2+12d^2=8\\9-4d^2=8\\4d^2=1\\d^2=\frac14\\d=-\frac12\\\begin{cases}a_1=5\\d=-\frac12\end{cases}\\a_{16}=a_1+15d=5-7,5=-2,5\\S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}2\cdot16=\frac{5-2,5}2\cdot16=2,5\cdot8=20$

Answer 2

Для решения задачи нам нужно найти первый член и разность прогрессии.

Пусть первый член равен a1, а разность прогрессии равна d. Тогда a3 = a1 + 2d и a7 = a1 + 6d.

Мы знаем, что a3 + a7 = 6, поэтому:

a1 + 2d + a1 + 6d = 6 2a1 + 8d = 6 a1 + 4d = 3

Мы также знаем, что a3 × a7 = 8, поэтому:

(a1 + 2d) × (a1 + 6d) = 8 a1^2 + 8d^2 + 14ad = 8

Мы можем решить систему уравнений, составленную из этих двух уравнений, чтобы найти a1 и d. Сначала выразим a1 через d из первого уравнения:

a1 = 3 - 4d

Теперь заменим a1 вторым уравнением:

(3 - 4d)^2 + 8d^2 + 14d(3 - 4d) = 8

9 - 24d + 16d^2 + 8d^2 + 42d - 56d^2 = 8

-48d^2 + 18d + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя формулу дискриминанта:

d = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = -48, b = 18 и c = 1.

d = (-18 ± √(18^2 - 4 × -48 × 1)) / 2 × -48 d = (-18 ± √1200) / -96 d = 0.25 или d = -0.5

Нам нужно выбрать положительное значение d, потому что прогрессия убывающая. Таким образом, d = 0.25.

Теперь мы можем найти a1, используя первое уравнение:

a1 = 3 - 4d = 2.5

Таким образом, первый член прогрессии равен 2.5, а разность равна 0.25.

Чтобы найти сумму первых 16 членов, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)

Заменяя значения, получаем:

S16 = 16/2 * (2(2.5) + (16-1)0.25) = 8 * (5 + 3) = 64

Таким образом, сумма первых 16 членов равна 64.