Question

Найдите угол между радиусами OA и OB если расстояние от центра Ольга окружности до хорды АB вдвое меньше АB Найдите сумму первых 50 натуральных чисел

Answer 1

Рассотрим полученный треугольник АСМ: угол АМС - прямой. АС=12см, а угол САМ = 30 градусов. АС - гипотенуза, значит СМ = 1/2 АС (т. к. лежит напротив угла в 30 градусов) СМ=12:2=6(см).

Answer 2

Для решения первой задачи нам нужно использовать свойства хорд, радиусов и касательных окружности.

Пусть точка M - середина хорды AB, а точка C - точка касания хорды AB с окружностью. Также пусть r - радиус окружности, a - длина хорды AB, а угол между радиусами OA и OB обозначим как x.

Так как OM является медианой треугольника ABC, то OM^2 = OC^2 - MC^2. Также, так как расстояние от центра Ольга окружности до хорды АB вдвое меньше AB, то OM = a/4.

Из свойств касательных к окружности, MC = BC = a/2, а OC = r.

Подставляя эти значения в формулу для OM^2, получим:

(a/4)^2 = r^2 - (a/2)^2

a^2/16 = r^2 - a^2/4

5a^2/16 = r^2

Теперь рассмотрим треугольник OAB. Угол между радиусами OA и OB обозначим как x, а угол при вершине O обозначим как 2y.

Так как точка M является серединой хорды AB, то OM перпендикулярен AB, и угол MOB равен половине угла при вершине AOB, то есть углу y.

Из свойств треугольника OMC, OC = r, MC = a/2 и угол MOC равен углу MOB + BOA, то есть углу y + x. Также, так как OM = a/4, то угол OMC равен углу MOB - y.

Из этих двух уравнений можно выразить синус угла MOB через синус угла OMC:

sin(MOB) = sin(OMC + y) = sin(OMC)cos(y) + cos(OMC)sin(y)

sin(MOB) = MC/r * cos(y) + OM/r * sin(y) = (a/2r) * cos(y) + (a/4r) * sin(y)

Из свойств треугольника OAB, sin(MOB) = (a/2r) * sin(x).

Сравнивая два последних выражения для sin(MOB), получаем:

(a/2r) * sin(x) = (a/2r) * cos(y) + (a/4r) * sin(y)

sin(x) = cos(y) + (1/2)sin(y)

Теперь рассмотрим треугольник OMC. Угол при вершине OMC равен углу при вершине AOB, то есть 2y. Также, угол MOC равен углу