Question

Помогите с решением дифференциальных уравнений, пожалуйста!!! очень срочно!!!! 1) 2yy''-3(y')^2=4y^2 2) y''+y'=exp^-x

Answer 1

2 x 2 + 3 x  = 0

D = b 2 - 4 × a × c = (3) 2 - 4 × (2) × (0) = 9

√D = 3

k 1  =  -b + √D  =  -3 + 3  =  02a2 × (2) k 2  =  -b - √D  =  -3 - 3  =  -1.52a2 × (2)

y = C1ek1x + C2ek2x

Подставляем найденные корни характерисического уравнения:

y = C1e (0) x + C2e (-1.5) x

Ответ

y = C1e (0) x + C2e (-1.5) x

Answer 2

Для решения этих дифференциальных уравнений можно использовать различные методы, в зависимости от типа уравнения.

1. 2yy''-3(y')^2=4y^2

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом Эйлера. Для этого необходимо сделать замену переменных: y' = p, тогда y'' = p' = dp/dx. Уравнение примет вид:

2y(p') - 3p^2 = 4y^2

Разделим уравнение на 2y и получим:

p' - (3/2)(p/y)^2 = 2y

Теперь введем новую функцию z = p/y. Тогда уравнение примет вид:

z' - (3/2)z^2 = 2y^2

Это уравнение линейное относительно функции z. Решим его, используя метод интегрирующего множителя:

Умножим уравнение на множитель exp(3x/2):

exp(3x/2)z' - (3/2)exp(3x/2)z^2 = 2exp(3x/2)y^2

Заметим, что левая часть является производной от произведения функции z на множитель exp(3x/2):

(exp(3x/2)z)' = 2exp(3x/2)y^2

Интегрируя это уравнение по x, получим:

exp(3x/2)z = (4/3)exp(3x/2)y^3 + C

где C - произвольная постоянная интегрирования. Используя замену переменных, найдем выражение для y:

y = (C/z)^(1/3)

Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем выражение для z:

z = (2/3)x + D

где D - еще одна произвольная постоянная интегрирования. Итак, общее решение уравнения имеет вид:

y = (C/(2x/3 + D))^(1/3)

2. y''+y'=exp^-x

Это уравнение можно решить методом вариации постоянных. Общее решение однородного уравнения y''+y'=0 имеет вид:

y = C1cos(x) + C2sin(x)

Частное решение неоднородного уравнения можно найти, предположив, что решение имеет вид:

y = A*exp(-x)

где A - постоянная, которую необходимо найти. Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим:

Aexp(-x) - Aexp(-x) = exp(-x)

Решая это у