Question

Sin9x+sin5x =5cos2x решать ур- ие

Answer 1

Sinx + sin5x = sqrt(5) * cos2x
-------------------------------------
Sinx + sin5x  = 2 * sin ((x+5x)/2) * сos ((5x-x)/2) = 2 * sin3x * cos 2x
-------------------------------------
2 * sin3x * cos 2x - sqrt(5) * cos2x = 0
cos2x * (2 * sin3x - sqrt(5)) = 0
1) cos2x = 0
2x = pi/2 + pi*n (n ∈ z)
x =  pi/4 + (pi*n)/2 (n ∈ z)
2)2 * sin3x - sqrt(5) = 0
sin3x = sqrt(5)/2
3x = (-1)^n * arcsin sqrt(5)/2 + pi*n (n ∈ z)
x = (-1)^n * (arcsin sqrt(5)/2)/3 + (pi*n)/3 (n ∈ z)

P.s. Точно в условии корень из 5 стоит?

Answer 2

Для решения уравнения необходимо привести его к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применяя её дважды, получим:

sin9x + sin5x = 5cos2x

(sin9x = sin(4x+5x) = sin(4x)cos(5x) + cos(4x)sin(5x))

(sin5x = sin(2x+3x) = sin(2x)cos(3x) + cos(2x)sin(3x))

sin(4x)cos(5x) + cos(4x)sin(5x) + sin(2x)cos(3x) + cos(2x)sin(3x) = 5cos2x

Применим формулы синуса и косинуса для двойного угла и для разности углов:

sin2x = 2sinx*cosx, cos2x = cos^2x - sin^2x

sin(4x)cos(5x) + cos(4x)sin(5x) + sin(2x)cos(3x) + cos(2x)sin(3x) = 5(cos^2x - sin^2x)

Заменяем sin4x и cos4x через sin2x и cos2x, используя формулы для удвоенного угла:

sin4x = 2sin2x*cos2x, cos4x = cos^2(2x) - sin^2(2x)

2sin2xcos2xcos5x + (cos^2(2x) - sin^2(2x))sin5x + sin2xcos3x + cos2xsin3x = 5cos^2x - 5sin^2x

Далее раскроем cos5x и cos3x через sin и cos:

cos5x = cos(2x+3x) = cos(2x)cos(3x) - sin(2x)sin(3x)

cos3x = cos(2x+x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)

Подставим эти значения в уравнение и продолжим преобразования:

2sin2x*cos2x(cos(2x)cos(3x) - sin(2x)sin(3x)) + (cos^2(2x) - sin^2(2x))sin5x + sin2x(cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) + cos2x(sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)) = 5cos^2x - 5sin^2x

Упростим выражение, используя формулы для произведения синусов и косинусов:

2sin2xcos2xcos(2x)cos(3x) - 2sin3xcos2xsin^2(2x) + cos^2(