Question

О треугольнике ABC известно, что ∠ABC= 3∠ACB. На стороне AC взята такая точка X, что AX = AB. Найдите CX, если BX= 6.

Answer 1

Решение в приложении.
=======================

Answer 2

Из условия задачи мы знаем, что угол BAC равен углу ABC + углу ACB. Из этого можно сделать следующее уравнение:

∠BAC = ∠ABC + ∠ACB = 4∠ACB

Также мы знаем, что AX = AB, что означает, что треугольник ABX является равнобедренным, а значит, ∠ABX = ∠BAX. Но ∠BAX = ∠BAC - ∠CAX, поэтому мы можем записать:

∠ABX = ∠BAC - ∠CAX

Мы можем также выразить ∠ABX через известные углы, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:

∠ABX = 180 - ∠AXB - ∠BAX = 180 - 2∠BAX

Соединив все выражения, получаем:

180 - 2∠BAX = ∠BAC - ∠CAX

Заметим, что ∠BAC = 4∠ACB, а также что ∠CAX и ∠BAX являются смежными углами, так что они дополняются до 180 градусов. Значит, мы можем записать:

180 - 2∠BAX = 4∠ACB - ∠BAX

Перенесем все ∠BAX на одну сторону:

3∠BAX = 4∠ACB - 180

Делим обе части на 3:

∠BAX = (4/3)∠ACB - 60

Теперь мы можем выразить ∠CAX через известные углы:

∠CAX = ∠BAC - ∠BAX = 4∠ACB - (4/3)∠ACB + 60 = (8/3)∠ACB + 60

Так как треугольник ABX равнобедренный, то BX = AX = AB = 6. Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения CX:

CX^2 = AC^2 + AB^2 - 2·AC·AB·cos(∠CAX)

Так как AX = AB = 6 и мы знаем ∠CAX, мы можем записать:

CX^2 = AC^2 + 6^2 - 2·AC·6·cos(∠CAX)

Теперь мы можем выразить cos(∠CAX) через известные углы:

cos(∠CAX) = cos((8/3)∠ACB + 60)

Используем формулу для косинуса суммы углов:

cos(∠CAX) = cos(8/3·∠ACB)·cos(60) - sin(8/3·∠ACB)·sin(60)

Т