Question

В четырех угольник вписана окруность .Найдите длину МК, если МN=9cm, LK=11cm и NL=10cm

Answer 1

30 будет потому что угли сумируютса

Answer 2

Для решения задачи можно воспользоваться формулой для расстояния от центра вписанной окружности до стороны четырехугольника:

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{p}}$,

где $r$ - радиус вписанной окружности, $a$, $b$, $c$, $d$ - длины сторон четырехугольника, $p$ - полупериметр четырехугольника:

$p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

Обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника как $O$, а точки пересечения сторон и окружности как $K$, $L$, $M$, $N$ (см. рисунок).

Так как $MLKN$ - четырехугольник, то его полупериметр равен:

$p = \frac{MN + LK + KN + NL}{2} = \frac{9 + 11 + KN + 10}{2} = KN + 15$.

Из теоремы о касательных к окружности следует, что отрезки $OK$, $OL$, $OM$, $ON$ являются радиусами вписанной окружности. Поэтому для нахождения $OM$ нам нужно найти радиус вписанной окружности.

Используя формулу для радиуса вписанной окружности в четырехугольнике, получим:

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{p}} = \sqrt{\frac{(KN+6)(KN+4)(KN+2)(KN+1)}{KN+8}}$.

Теперь можно использовать формулу для расстояния от центра вписанной окружности до стороны $MK$:

$OM = \sqrt{r^2 - OK^2}$.

Остается только найти $OK$. Для этого заметим, что $OK$ является биссектрисой угла $MON$. Из теоремы о биссектрисе в треугольнике можно получить:

$\frac{OK}{OM} = \frac{KN+10}{KN}$.

Отсюда следует:

$OK = \frac{OM \cdot (KN+10)}{KN}$.

Итак, получаем:

$OM = \sqrt{r^2 - OK^2} = \sqrt{\frac{(KN+6)(KN+4)(KN+2)(KN+1)}{KN+8} - \left(\frac{OM \cdot (KN+10)}{KN}\right)^2}$.

Это уравнение можно решить численно. Например, с помощью метода Ньютона. Однако, решение этого уравнения в общем случае является достаточно сложной задачей.

Возмож