Question

Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 6 и на 8, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 12? Запишите решение и ответ.

Answer 1

Может и не правильно, но я предложу.

Если рассуждать по моему, то в первом случае с числом 4 остаток не должен превышать 3. При случае с 6 остаток не превышает 5 и в третьем случае с 8 он не превышает 7. Складываем 3 + 7 + 5. Получаем 15. То есть следуя логике можно предположить что остаток от 12 будет равен... 11?

Возможно не правильно, но мне так кажется.

Answer 2

Обозначим задуманное Ваней число через $x$. По условию задачи, мы знаем, что:

$$\begin{aligned} x &\equiv a \pmod{4} \\ x &\equiv b \pmod{6} \\ x &\equiv c \pmod{8} \end{aligned}$$

где $a$, $b$ и $c$ – остатки от деления $x$ на 4, 6 и 8 соответственно. Нам нужно найти остаток от деления $x$ на 12, то есть найти $x \bmod 12$.

Давайте начнём с того, что рассмотрим первое уравнение $x \equiv a \pmod{4}$. Оно означает, что $x$ имеет вид $x = 4k + a$ для некоторого целого числа $k$. Подставляя это выражение для $x$ во второе уравнение, получим:

$$4k + a \equiv b \pmod{6}$$

Мы можем переписать это уравнение в виде $4k \equiv b - a \pmod{6}$. Заметим, что $4 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{6}$, поэтому умножим обе части этого уравнения на 4:

$$16k \equiv 4(b - a) \pmod{6}$$

Упрощаем:

$$4k \equiv b - a \pmod{6}$$

Теперь мы получили два уравнения:

$$\begin{aligned} x &= 4k + a \\ 4k &\equiv b - a \pmod{6} \end{aligned}$$

Аналогично, подставляя $x = 4k + a$ в третье уравнение, получаем:

$$4k + a \equiv c \pmod{8}$$

Или, что то же самое, $4k \equiv c - a \pmod{8}$. Мы можем умножить обе части этого уравнения на 2:

$$8k \equiv 2(c - a) \pmod{8}$$

Упрощаем:

$$0 \equiv 2(c - a) \pmod{8}$$

Это означает, что $c - a$ чётно. Мы можем записать $c - a = 2m$ для некоторого целого числа $m$. Тогда уравнения примут вид:

$$\begin{aligned} x &= 4k + a \\ 4k &\equiv b - a \pmod{6} \\ 2k &\equiv m \pmod{4} \end{aligned}$$

Мы можем решить последнее уравнение относительно $k$: $k = 2l + \frac{m}{2}$ для некоторого целого числа $l$. Подставляя это выражение для $k$ в первые два уравн