Question

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта? Ответ с пояснением

Answer 1

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; одним лишь футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод множественного пересечения, состоящий в построении диаграммы Венна, которая показывает пересечения множеств.

Нарисуем диаграмму Венна, где множества A, B и C соответствуют количеству учеников, играющих в баскетбол, хоккей и футбол соответственно:

cssCopy code
    ┌───────────┐
  ┌─┤     A     │
  │ └───────────┘
  │   ┌───────┐
  ├─┬─┤ A ∩ B │
  │ │ └───────┘
  │ │ ┌───────┐
  │ ├─┤ A ∩ C │
  │ │ └───────┘
  │ │ ┌───────┐
  └─┤ B ∩ C │
    └───────┘

Из условия задачи мы знаем, что:

• |A| = 16
• |B| = 17
• |C| = 18
• |A ∩ B| = 4
• |A ∩ C| = 3
• |B ∩ C| = 5
• |A ∩ B ∩ C| = 0
• |A ∪ B ∪ C| = 38

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти количество учеников, которые играют только в один вид спорта, только в два вида спорта, и во все три вида спорта.

Чтобы найти количество учеников, играющих только в один вид спорта, нам нужно вычесть из суммарного числа учеников в A, B и C количество учеников, играющих в двух или трех видах спорта:

cssCopy code
|A \ (B ∪ C)| + |B \ (A ∪ C)| + |C \ (A ∪ B)|
= (|A| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|) + (|B| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|) + (|C| - |A ∩ C| - |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|)
= (16 - 4 - 3 - 0) + (17 - 4 - 5 - 0) + (18 - 3 - 5 - 0)
= 14

Таким образом, 14 учеников играют только в один вид спорта.

Чтобы найти количество учеников, играющих только в два вида спорта, нам нужно вычислить сумму количества учеников, играющих в двух видов спорта:

cssCopy code
|A ∩ B| + |A ∩ C