Question

Составить квадратное уравнение с корнями (а+в) ² и (а-в)², если а и в- корни уравнения х2+рх+q=0.​

Answer 1

$1)\; \; x^2+px+q=0\; \; ,\; \; x_1=a\; ,\; \; x_2=b\; \; \Rightarrow \; \; \; \left \{ {{x_1x_2=q} \atop {x_1+x_2=-p}} \right.\; \; \left \{ {{ab=q} \atop {a+b=-p}} \right.\\\\(a+b)^2=(-p)^2=p^2\; ,\\\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab=p^2-4q\\\\2)\; \; x^2+Px+Q=0\; \; \to \; \; \left \{ {{(a+b)^2\cdot (a-b)^2=Q} \atop {(a+b)^2+(a-b)^2=-P}} \right.\\\\-P=(a+b)^2+(a-b)^2=p^2+(p^2-4q)=2p^2-4q=2(p^2-2q)\\\\Q=(a+b)^2\cdot (a-b)^2=p^2\cdot (p^2-4q)=p^4-4p^2q\\\\x^2+Px+Q=x^2-2\, (p^2-2q)\, x+(p^4-4p^2q)\\\\Otvet:\; x^2-2\, (p^2-2q)\, x+p^4-4p^2q=0\; .$

Answer 2

По формуле Виета мы знаем, что сумма корней уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-b/a$, а произведение корней равно $c/a$.

В данном случае у нас есть уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $a$ и $b$, поэтому мы можем записать:

$a + b = -p$ (1)

$a \cdot b = q$ (2)

Теперь мы можем выразить $a$ и $b$ через $p$ и $q$:

$a = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

$b = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

Заметим, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы можем выразить $ab$ через $p$ и $q$, используя уравнение (2):

$ab = q$

Теперь мы можем записать наши корни в виде:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + 4ab = (a+b)^2 + 4q$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - 4ab = (a-b)^2 - 4q$

Таким образом, квадратное уравнение с корнями $(a+b)^2$ и $(a-b)^2$ имеет вид:

$(x - (a+b)^2)(x - (a-b)^2) = 0$

Раскрывая скобки и используя формулы выше, мы получаем:

$(x - (a+b)^2)(x - (a-b)^2) = (x - (a^2 + 2ab + b^2))(x - (a^2 - 2ab + b^2)) = 0$

$(x - (a^2 + 2ab + b^2))(x - (a^2 - 2ab + b^2)) = 0$

$(x - a^2 - 2ab - b^2)(x - a^2 + 2ab - b^2) = 0$

Ответ:

$(x - a^2 - 2ab - b^2)(x - a^2 + 2ab - b^2) = 0$