Question

Решить уравнения) . Необходимо на завтра. 1)  √3 sinx + cosx - 2 = 0 2) sin x - √3 cosx - 2 = 0

Answer 1

1) делишь всю левую часть на 2

заменяешь √3/2 на cos(пи/6), а 1/2 на sin(\pi/6)

получаешь: кос(пи/6)*син(икс)+кос(икс)*син(пи/6)=1

по формуле синуса суммы получаем:

син(пи/6+икс)=1

арксин1=пи/2

пи/2=пи/6+икс

икс=пи/2-пи/6

икс=пи/3

2)аналогично

Answer 2

1. √3 sinx + cosx - 2 = 0

Перепишем уравнение в виде:

cos(x) = 2 - √3 sin(x)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

cos^2(x) = (2 - √3 sin(x))^2

cos^2(x) = 4 - 4√3 sin(x) + 3sin^2(x)

Заменяем sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

cos^2(x) = 4 - 4√3 sin(x) + 3 - 3cos^2(x)

Переносим все члены с cos^2(x) на одну сторону:

4cos^2(x) + 4√3 sin(x) - 7 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно cos(x):

cos(x) = (-4√3 sin(x) ± √(48sin^2(x) + 112)) / 8

cos(x) = (-√3 sin(x) ± √3) / 2

cos(x) = -(√3/2) sin(x) ± 1/2

Подставляем полученное выражение для cos(x) в исходное уравнение:

√3 sin(x) + (-(√3/2) sin(x) ± 1/2) - 2 = 0

Если выбрать знак «+» при выражении для cos(x), получим:

sin(x) = 2/(√3 + 1)

sin(x) = (√3 - 1)/2

x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k – любое целое число.

Если выбрать знак «-» при выражении для cos(x), получим:

sin(x) = 2/(√3 - 1)

sin(x) = (√3 + 1)/2

x = π/6 + 2πk или x = 11π/6 + 2πk, где k – любое целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

x = π/3 + 2πk, x = 5π/3 + 2πk, x = π/6 + 2πk и x = 11π/6 + 2πk, где k – любое целое число.

2. sin x - √3 cosx - 2 = 0

Перепишем уравнение в виде:

sin(x) = √3 cos(x) + 2

Возводим обе части уравнения в квадрат:

sin^2(x) = 3cos^2(x) + 4√3 cos(x) + 4

Заменяем sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1 - cos^2(x) = 3cos^2(x) + 4√3 cos(x) + 4

Переносим все члены с cos^2(x) на одну сторону:

4cos^2(x) + 4