Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 y=2x-x^2

Answer 1

НАрисуй графики этих функций и ты увидишь, что нижней функцией будет y=x^2, а верхней y=2x, затем найдём точки пересечения приравнял y=x^2 и y=2x, получим x^2=2x,  x*(x-2)=0, тоесть данные функции пересекаются в 2 точках, x=0 и x=2, затем вычисляем двойной интеграл ,  интеграл(от 0 до 2)по dx (интеграл(от 2x до x^2) по dy), поставляя пределы получаем интеграл(от 0 до 2) по dx*(x^2-2x),  затем интегрируем и снова подставляем пределы и получаем  ((x^3/3)-x^2)в подстановке от 0 до 2, совершаем подстановку и получаем 0^3/3-0^2-(2^3/3-2^2)=-(-4/3)=4/3   Ответ: S=4/3

Answer 2

Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x-x^2, необходимо найти точки пересечения этих двух функций, а затем найти определенный интеграл от одной функции до другой по оси x.

Решение:

Сначала найдем точки пересечения:

y = x^2

y = 2x - x^2

Приравняем их:

x^2 = 2x - x^2

2x^2 = 2x

x^2 = x

x(x-1) = 0

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 0 и x = 1.

Теперь найдем определенный интеграл от y = x^2 до y = 2x - x^2 по оси x:

∫[0,1] [(2x - x^2) - x^2] dx

= ∫[0,1] (2x - 2x^2) dx

= [x^2 - (2/3)x^3] [0,1]

= (1 - (2/3)) - (0 - 0)

= 1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2x - x^2, равна 1/3.