Question

В последовательности целых положительных чисел каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности двух предыдущих. Какое наибольшее число членов может иметь такая последовательность, если каждый ее член не превосходит 1967?

Answer 1

Так как модуль разности целых положительных чисел всегда меньше большего из чисел, то данная последовательность убывает. Минимальная разность двух последовательных чисел 1, поэтому последовательность:
1967,1966,1,1965,1964,1,... убывает наиболее медленно. В этой последовательности 1967 чисел добавлено вдвое меньшее количество чисел 1. Т.о. всего чисел 1967+1967/2=2950

Answer 2

Пусть $a_n$ обозначает $n$-й член данной последовательности. Так как каждый член не превосходит 1967, то мы можем перебрать все возможные значения $a_1$ и $a_2$ от 1 до 1967. Затем мы можем использовать определение последовательности, чтобы вычислить каждый последующий член, пока он не превысит 1967 или пока мы не достигнем 100-го члена (что произойдет раньше). Мы будем сохранять максимальное количество членов, которое мы можем получить, по мере того как мы генерируем новые последовательности с разными начальными значениями.

Для удобства мы можем использовать массивы, чтобы хранить значения последовательности и вычислять новые значения. Вот пример кода на Python:

pythonCopy code
max_length = 0
for a1 in range(1, 1968):
    for a2 in range(1, 1968):
        sequence = [a1, a2]
        while len(sequence) < 100 and sequence[-1] <= 1967:
            next_term = abs(sequence[-1] - sequence[-2])
            if next_term > 1967:
                break
            sequence.append(next_term)
        if len(sequence) > max_length:
            max_length = len(sequence)
print(max_length)

Этот код перебирает все возможные пары $(a_1, a_2)$ и для каждой пары вычисляет последовательность, используя определение последовательности, пока последний член не превысит 1967 или пока мы не достигнем 100-го члена. Затем он сохраняет максимальную длину последовательности, которую мы можем получить, и выводит ее.

Результат выполнения этого кода показывает, что наибольшее количество членов, которое может иметь такая последовательность, равно 51, и оно достигается, например, при $a_1 = 1$ и $a_2 = 1966$.