Question

Написано 10-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 23 или на 17. Последняя цифра равна 1. Найдите первую цифру

Answer 1

Задача решается с последней цифры.
Если последняя цифра 1, то две последние цифры 51
потому как только 51 делится на 17
других двузначных чисел делящихся на 23 (46; 69; 92) или на 17( 34; 51; 68; 85) и оканчивающихся на1 - нет
Значит предпоследние две цифры
85 и последняя 1
Итак, получаем три последние цифры числа
851
Четыре последние цифры 6851
Пять цифр: 46851
Шесть цифр:346851
Семь цифр:2346851
Восемь цифр: 92346851
Девять цифр: 692346851
Десять цифр: 4692346851
Ответ.  4692346851

Answer 2

Пусть наше число записано в виде $abcdefghij$, где $a$ - первая цифра, $b$ и $c$ - первое двузначное число, $c$ и $d$ - второе двузначное число, и так далее.

Мы знаем, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 23 или на 17. Так как 23 и 17 - простые числа, то двузначные числа, делящиеся на них, могут быть только 23, 34, 46, 68, 69, 71, 87 и 92.

Таким образом, из условия следует, что $bc$, $de$, и $gh$ могут быть только одним из следующих восьми вариантов:

23, 34, 46, 68, 69, 71, 87 и 92.

Также из условия следует, что последняя цифра равна 1, поэтому $j$ должно быть равно 1.

Теперь рассмотрим возможные варианты $bc$, $de$, и $gh$:

• Если $bc = 23$, то $de$ может быть только равным 46 или 69. Но тогда $gh$ не может быть одним из оставшихся шести вариантов, так как они не заканчиваются на 1.
• Если $bc = 34$, то $de$ может быть только равным 68 или 87. Но тогда $gh$ не может быть одним из оставшихся шести вариантов, так как они не заканчиваются на 1.
• Если $bc = 46$, то $de$ может быть только равным 23 или 92. Если $de = 23$, то $gh$ может быть только равным 71 или 92. Но если $gh = 71$, то мы получаем число 4623717191, которое не делится ни на 23, ни на 17. Значит, $gh$ должно быть равно 92. Тогда мы получаем число 4623927191, которое действительно делится на 23 и на 17.
• Если $bc = 68$, то $de$ может быть только равным 34 или 71. Если $de = 34$, то $gh$ может быть только равным 46 или 87. Но если $gh = 46$, то мы получаем число 6834467191, которое не делится ни на 23, ни на 17. Значит, $gh$ должно быть равно 87. Тогда мы получаем число 6834877191, которое действительно делится на 23 и на 17.
• Если $bc = 69$, то $de$ может быть только равным 23 или 92. Если $de = 92$, то $gh$ может быть только равным 34 или 71. Но если $gh =