Question

2y'= y^2/x^2+6*y/x+6 помогите пожалуйста решить

Answer 1

$2y'=(\frac{y}{x})^2+6\cdot \frac{y}{x}+6\\\\u=\frac{y}{x},\; y=ux,\; y'=u'x+u\\\\2(u'x+u)=u^2+6u+6\\\\2u'x=u^2+4u+6\\\\u'=\frac{du}{dx}=\frac{u^2+4u+6}{2x}\\\\\int \frac{du}{u^2+4u+6}=\int \frac{dx}{2x}\\\\\int \frac{du}{(u+2)^2+2}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{1}{\sqrt2}\cdot arctg\frac{u+2}{\sqrt2}=\frac{1}{2}\cdot ln|x|+C$

$\sqrt2\cdot arctg\frac{\frac{y}{x}+2}{\sqrt2}=ln|x|+C\\\\\sqrt2\cdot arctg\frac{y+2x}{x\sqrt2}=\ln|x|+C$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

2y' = y^2/x^2 + 6y/x + 6

Перепишем уравнение в более удобном виде, вынесем общий множитель 2:

y' = (y^2/2x^2) + (3y/x) + 3

Заметим, что это уравнение является уравнением Бернулли, т.е. уравнением вида:

y' + P(x)y = Q(x)y^n,

где n ≠ 1.

Для решения уравнения Бернулли введем замену:

z = y^(1 - n)

В нашем случае:

z = y^(-1)

Тогда:

z' = (-y^-2) * y' = -y' / y^2

Подставляя в уравнение Бернулли получим:

-z' + P(x)z = Q(x)

-y'/y^2 + (3/x) * y^(-1) = 3

y'/y^2 - (3/x) * y^(-1) = -3

Продифференцируем это уравнение по x и выразим y'' через y' и y:

y'' = (2yy''/y^3) - (y'^2/y^3) + (3y'/x^2) - (3/x)*y^(-2)

Подставим y' из исходного уравнения и выразим y'' через y и x:

y'' = (2y^3/x^3) + (3y^2/x^2) + (6y/x^2) - (6y/x^3) - (y^4/x^4)

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = (Cx^3)/(x^2 + 1) или y(x) = 0

где C - произвольная постоянная.

Ответ: y(x) = (Cx^3)/(x^2 + 1) или y(x) = 0.