Question

Найдите длины сторон прямоугольника с периметром 72 см, который имеет наибольшую площадь

Answer 1

Ххххххххххххххххххмммммммммммммм..........

Answer 2

Наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами 18 см.

Р = (18+18) * 2 = 72 см
S = 18*18 = 324 кв.см

Answer 3

Давайте обозначим длину и ширину прямоугольника через $l$ и $w$ соответственно. Тогда периметр прямоугольника равен $2l + 2w$, и по условию задачи он равен 72 см, т.е.

$2l + 2w = 72.$

Также, площадь прямоугольника равна $lw$. Мы хотим найти наибольшую возможную площадь, так что нам нужно максимизировать выражение $lw$.

Мы можем решить эту задачу с помощью метода Лагранжа, введя ограничение $2l + 2w = 72$ через множитель Лагранжа $\lambda$:

$L(l, w, \lambda) = lw + \lambda(2l + 2w - 72).$

Далее, возьмём частные производные $L$ по $l$, $w$, и $\lambda$ и приравняем их к нулю:

$\frac{\partial L}{\partial l} = w + 2\lambda = 0,$

$\frac{\partial L}{\partial w} = l + 2\lambda = 0,$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 2l + 2w - 72 = 0.$

Решая первые два уравнения относительно $w$ и $l$ соответственно, мы получим

$w = -2\lambda, \quad l = -2\lambda.$

Подставляя это в третье уравнение, мы получим

$4\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = 18.$

Затем, мы можем найти длину и ширину прямоугольника, используя $w = -2\lambda$ и $l = -2\lambda$, получаем

$w = -2(18) = -36, \quad l = -2(18) = -36.$

Однако, длина и ширина не могут быть отрицательными, поэтому мы должны взять их по модулю:

$w = 36, \quad l = 36.$

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника с периметром 72 см достигается, когда длина и ширина прямоугольника равны 36 см.