Question

Найдите последнюю цифру числа 1*1+2*2+...+99*99

Answer 1

Разложим число на слагаемые.

Рассмотрим суммы чисел, представляемых в виде:

1) (10k)² = 100k² ≡₁₀ 0

(9 таких чисел)

2) (10k + 1)² + (10k + 3)² = 200k² + 80k + 10 ≡₁₀ 0

3) (10k + 7)² + (10k + 9)² = 200k² + 320k + 130 ≡₁₀ 0

4) (10k + 2)² + (10k + 4)² = 200k² + 120k + 20 ≡₁₀ 0

5) (10k + 6)² + (10k + 8)² = 200k² + 280k + 100 ≡₁₀ 0

(по 10 пар таких чисел)

6) (10k + 5)² = 100k² + 100k + 25 ≡₁₀ 5

(10 таких чисел, так что их сумма делится на 10)

Так как сумма всех чисел делится на 10, число, получаемое при сложении квадратов чисел от 1 до 99, оканчивается цифрой 0.

Ответ: 0.

Answer 2

Мы можем использовать факт, что последняя цифра возведения в степень периодически повторяется. В частности, последняя цифра возведения в степень 1, 2, 3 и 4 циклически повторяется как 1, 4, 9, 6.

Каждое число вида $n^2$ оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 в зависимости от последней цифры $n$. Таким образом, для каждого из этих значений последней цифры возведения в квадрат, в последовательности $1^2, 2^2, ..., 99^2$ будет ровно 10 чисел с такой же последней цифрой.

Следовательно, сумма $1^2 + 2^2 + ... + 99^2$ будет иметь ту же последнюю цифру, что и $10(0^2 + 1^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 9^2)$.

Вычисляем сумму в скобках:

$0^2 + 1^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 9^2 = 0 + 1 + 16 + 25 + 36 + 81 = 159$

Умножаем на 10 и находим последнюю цифру:

$10(0^2 + 1^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 9^2) = 10(159) = 1590$

Последняя цифра этой суммы равна 0, так что последняя цифра суммы $1^2 + 2^2 + ... + 99^2$ также равна 0.