Question

Биссектриса PC и медиана QA треугольника PQR взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке F. Площадь треугольника PQR равна 40. Найдите площадь треугольника FPQ.

Answer 1

.....................................................

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника FPQ, нам понадобится информация о соотношении биссектрисы и медианы в треугольнике.

В данном случае, если биссектриса PC и медиана QA взаимно перпендикулярны, то это означает, что точка F является центром окружности, описанной вокруг треугольника PQR.

Так как мы знаем площадь треугольника PQR равна 40, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$ где R - радиус описанной окружности, a, b и c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.

Давайте предположим, что стороны треугольника PQR обозначены как PQ = a, QR = b и RP = c. Тогда радиус R будет: $R = \frac{abc}{4 \cdot 40} = \frac{abc}{160}$

Теперь, чтобы найти площадь треугольника FPQ, нам понадобится знание длины отрезка FP (обозначим его как d) и радиуса описанной окружности R.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника, использующую две стороны и синус угла между ними: $S_{FPQ} = \frac{1}{2} \cdot FP \cdot PQ \cdot \sin(\angle FPQ)$

Заметим, что угол FPQ является прямым углом, так как биссектриса и медиана взаимно перпендикулярны. Поэтому синус этого угла равен 1: $S_{FPQ} = \frac{1}{2} \cdot FP \cdot PQ \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot FP \cdot a$

Мы можем найти отношение диаметра окружности к радиусу R: $d = 2R = \frac{2abc}{160} = \frac{abc}{80}$

Таким образом, мы имеем: $FP = \frac{d}{2} = \frac{abc}{160 \cdot 2} = \frac{abc}{320}$

И, наконец, площадь треугольника FPQ: $S_{FPQ} = \frac{1}{2} \cdot FP \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \frac{abc}{320} \cdot a = \frac{a^2bc}{640}$

Таким образом, площадь треугольника FPQ равна (\frac{a^