Question

Постройте график функции у=х^2-5х+10-3|x-2| и найдите все значения a, при которых он имеет ровно 3 общие точки с прямой y=a+3

Answer 1

ДАНО
Y = x² - 5*x +10 - 3*|x-2|
Y = a+3
НАЙТИ
а =? - параметр - три общих точки.
Построить график.
РЕШЕНИЕ
График функции изменяет свой вид при изменении значения под модулем или при Х = 2 - это и есть общая точка двух частей графика.
Вычисляем при Х = 2
Y(2) = 2² - 5*2 + 10 = 4.
Вычисление параметра - а.
Y = a + 3 = 4
a = 4 - 3 = 1 - параметр - ОТВЕТ
Для построения графика преобразуем уравнение функции У.
При Х>2 получаем:
Y = x²-5*x+10-3*x+6 = x²-2*4*x+4² = (x-4)²
Вершина параболы в точке А(4;0).
При Х<2 получаем:
Y = x² -5*x+10+3*x-6= x²-2*x+4 = (x-1)²+3.
Вершина параболы в точке В(1;3)
Рисунок с графиком функции в приложении.

Answer 2

Для построения графика функции, можно использовать метод декомпозиции функции на участки и анализа их поведения.

1. Рассмотрим участок функции до модуля: y = x^2 - 5x + 10. Это парабола с вершиной в точке (2.5, 6.25), которая направлена вверх, так как коэффициент при x^2 положителен.

2. Рассмотрим участок функции после модуля: y = x^2 - 5x + 4. Это тоже парабола, но уже с вершиной в точке (2.5, -1.75), которая направлена вниз, так как коэффициент при x^2 положителен, а знак перед модулем изменяет знак функции при x < 2.

3. Построим график функции с учетом обоих участков:

Для нахождения значений a, при которых функция имеет ровно 3 общие точки с прямой y = a + 3, можно рассмотреть несколько случаев:

1. a < -1.75. В этом случае прямая y = a + 3 находится ниже минимального значения функции и не пересекает ее вовсе.

2. -1.75 < a < 6.25. В этом случае прямая пересекает функцию дважды: один раз на участке до модуля и один раз на участке после модуля. Чтобы функция пересекалась с прямой ровно три раза, необходимо, чтобы прямая проходила через вершину параболы на участке до модуля. Значит, a = 6.25 - 3 = 3.25.

3. a > 6.25. В этом случае прямая пересекает функцию дважды: один раз на участке до модуля и один раз на участке после модуля. Чтобы функция пересекалась с прямой ровно три раза, необходимо, чтобы прямая проходила над вершиной параболы на участке после модуля. Значит, a = -1.75 - 3 = -4.75.

Таким образом, функция имеет ровно 3 общие точки с прямой y = a + 3 при a = 3.25 и a = -4.75.