Question

Докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Answer 1

Требуется доказать, что для всех натуральных n

$n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть  $a_n=n!$ при переходе от  $a_n$ к  $a_{n+1}$ увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть  $b_n=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2$ при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^n}\ \textgreater \ n+1.$

Упрощая, приводим это неравенство к 

$(n+2)^{n+1}\ \textgreater \ 2(n+1)^{n+1}$.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

$(k+1)^k\ \textgreater \ 2k^k,$

причем  $k \geq 2.$

Используя бином Ньютона, получаем

$k^k+k\cdot k^{k-1}+\ldots= k^k+k^k+\ldots=2k^k+\ldots \ \textgreater \ 2k^k.$

Неравенство доказано.

Answer 2

Для любого натурального числа n мы можем записать n! как произведение n множителей, каждый из которых меньше или равен n:

n! = 1 × 2 × ... × n ≤ n × n × ... × n = n^n

Затем мы можем заметить, что (n+1)/2 больше или равно среднему арифметическому чисел от 1 до n, то есть (1 + 2 + ... + n) / n = (n+1)/2:

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Таким образом, мы можем записать:

n! ≤ n^n ≤ [(n+1)/2]^n

Последний переход основан на том, что n является целым числом, а (n+1)/2 - положительным.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

n! ≤ [(n+1)/2]^n

что и требовалось доказать.