Question

Допишите до формулы пожалуйста или решите sinx+cosx=√2sin7x

Answer 1

$\sin(x) + \cos(x) = \\ = \sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin(x) + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos(x) ) = \\ = \sqrt{2} ( \cos( \frac{\pi}{4} ) \sin(x) + \sin( \frac{\pi}{4} ) \cos(x) ) = \\ = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4} )$
поэтому наше уравнение равносильно следующему:
$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{2} \sin(7x)$
$\sqrt{2} ( \sin(x + \frac{\pi}{4} ) - \sin(7x) ) = 0 \\ ( \sin(x + \frac{\pi}{4} ) - \sin(7x) ) = 0 \\ 2 \sin( \frac{x + \frac{\pi}{4} - 7x}{2} ) \cos( \frac{x + \frac{\pi}{4} + 7x}{2}) = 0 \\ \sin( \frac{\pi}{8} - 3x ) \cos( \frac{\pi}{8} + 4x) = 0 \\ - \sin(3x - \frac{\pi}{8} ) \cos(4x + \frac{\pi}{8} ) = 0 \\ \\ \sin(3x - \frac{\pi}{8} ) = 0 \\ 3x - \frac{\pi}{8} = \pi k \\ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3} (k∈Z)\\ \\ \cos(4x + \frac{\pi}{8} ) = 0 \\ 4x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ 4x = \frac{3\pi}{8} + \pi n \\ x = \frac{3\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} (n∈Z)$
Ответ

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3} (k∈Z) \\ \\ x = \frac{3\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} (n∈Z)$

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества, чтобы привести его к виду, в котором можно найти все значения x, удовлетворяющие уравнению.

Начнем с применения тождества синуса и косинуса разности:

sin(x+π/4) = sinx cos(π/4) + cosx sin(π/4) = (sinx + cosx)/√2 cos(x+π/4) = cosx cos(π/4) - sinx sin(π/4) = (cosx - sinx)/√2

Теперь мы можем переписать исходное уравнение в следующем виде:

sinx + cosx = √2sin7x (sin(x+π/4) + cos(x+π/4)) = √2sin7x √2sin(x+π/4) = √2sin7x

Делим обе части на √2 и используем тождество синуса:

sin(x+π/4) = sin(7x+π/2) x+π/4 = nπ + (-1)^n (7x+π/2) где n - целое число.

Решаем уравнение относительно x:

x = (8n-1)π/26 - π/4, где n - целое число.

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются формулой:

x = (8n-1)π/26 - π/4, где n - целое число.