Question

Докажите,что среди пяти целых чисел есть три,сумма которых делится на 3.

Answer 1

)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 2

Возьмем числа (n - 2), (n - 1), n, (n + 1) и (n + 2)

Тогда:
(n - 2) + (n - 1) + n = 3n - 3 ⋮ 3
или
(n - 2) + n + (n + 2) = 3n ⋮ 3

Уже достаточно.
Стоит также оговориться, что не любая сумма делится на 3:
(n - 2) + n + (n + 1) = 3n - 1 ≡ -1 (mod 3)

Но тем не менее в задаче спрашивается про наличие таковой суммы, а она имеется. чтд

Вообще суть в чем... Нужно, чтобы остатки этих трех чисел при делении на 3 в сумме давали число, кратное 3-м. В первом примере остатки (не совсем остатки, но нечто похожее по своей сути): -2 + (-1) + 0 = -3 ⋮ 3.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом Дирихле.

Рассмотрим 5 целых чисел: a, b, c, d, e. Разделим каждое из них по модулю на 3 и рассмотрим остатки от деления: 0, 1 или 2. Из этих остатков можно выделить два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 3. Допустим, это a и b.

Тогда разность a - b делится на 3 (т.к. остаток вычитания чисел с одинаковыми остатками при делении на 3 равен 0). Теперь рассмотрим три случая:

1. c и d имеют тот же остаток при делении на 3, что и a и b. Тогда сумма a+b+c также делится на 3.

2. c и d имеют разные остатки при делении на 3. Тогда сумма a+b+d делится на 3.

3. e имеет тот же остаток при делении на 3, что и a и b. Тогда сумма a+b+e делится на 3.

Таким образом, в любом случае мы можем найти три числа, сумма которых делится на 3. Доказательство завершено.