Question

Основанием прямого параллелепипеда является ромб , диагонали которого равны 6 дм и 8 дм. Высота параллелепипеда равна 22 дм, а площадь полной поверхности равна 928 дм2. Вычислите сторону основания прямого параллелепипеда.

Answer 1

Ответ:

5 дм

Пошаговое объяснение:

Как известно, диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Сделав чертеж, увидим прямоугольный треугольник с катетами (половины диагоналей) 4 дм и 3 дм, а это египетский треугольник, значит, его гипотенуза (сторона ромба) равна 5 дм.

Answer 2

Обозначим стороны ромба как $a$ и $b$, где $a$ является длиной более короткой диагонали. Так как диагонали ромба равны $6$ дм и $8$ дм, то $a=4$ дм и $b=3$ дм (это можно вывести, используя теорему Пифагора для треугольников, образованных диагоналями и сторонами ромба).

Тогда площадь основания прямого параллелепипеда равна $S_{\text{осн}}=ab=4\cdot3=12$ дм$^2$. Общая площадь поверхности прямого параллелепипеда состоит из площадей шести прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону, равную высоте $h=22$ дм, и другую сторону, равную одной из сторон основания (т.е. $a$ или $b$), и двуе боковые стороны, равные другой стороне основания. Таким образом, общая площадь поверхности равна:

$S_{\text{повн}}=2ah+2bh+2ab=44a+44b+2ab.$

Заметим, что $44a+44b=44(a+b)=44\cdot7=308$, поскольку $a+b$ является длиной диагонали прямоугольника со сторонами $a$ и $b$.

Подставляя числовые значения $a$, $b$, и $h$, получаем:

$S_{\text{повн}}=308+2\cdot4\cdot3=320\text{ дм}^2.$

Так как из условия задачи известна площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, равная $928$ дм$^2$, то мы можем записать уравнение:

$928=2ab+44(a+b)+44h=2\cdot12+44\cdot7+44\cdot22.$

Решая это уравнение относительно $a+b$, получаем $a+b=22$.

Наконец, зная $a+b$ и $a/b$, мы можем решить систему уравнений:

$\begin{cases} a+b=22, \\ a/b=4/3. \end{cases}$

Решением этой системы являются $a=16/3$ дм и $b=26/3$ дм. Таким образом, стороны основания прямого параллелепипеда равны $a=16/3$ дм и $b=26/3$ дм.