Question

Гений помоги! Рассматриваются прямоугольные треугольники, у которых вершина прямого угла находится в начале координат, а две другие вершины - на ветвях параболы y=x^2. Докажите, что для каждого такого треугольника произведение расстояний от вершин острых углов до оси Oy равно 1.

Answer 1

ДУМАЕМ
Решим графически.
РЕШЕНИЕ
Строим график функции - Y = X². 
Прямой угол в начале координат - точка А(0;0)
Строим две прямые - стороны треугольника - Y=X и  Y=-X. Они под углом 45° к оси Х.
Находим точки пересечения - это точка В(-1;1) и С(1;1).
В таком треугольнике - АВС - произведение расстояний до оси У равно 1
|Вх| * Сх = 1*1 =  1 - ЧТД - что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, у которого вершина прямого угла находится в начале координат (0, 0), а две другие вершины лежат на параболе y = x^2.

Пусть вершина A(x1, y1) является одной из вершин острого угла, а вершина B(x2, y2) - другой вершиной острого угла. Тогда точка С будет вершиной прямого угла треугольника.

Расстояние от точки A до оси Oy равно x1, а расстояние от точки B до оси Oy равно x2. Нам нужно доказать, что x1 * x2 = 1.

Поскольку точка A(x1, y1) лежит на параболе y = x^2, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. То есть y1 = x1^2.

Аналогично, точка B(x2, y2) лежит на параболе y = x^2, поэтому y2 = x2^2.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения: y1 = x1^2 и y2 = x2^2.

Мы знаем, что точка С лежит на прямой AB, поскольку она является вершиной прямого угла треугольника. Это означает, что наклон прямой AB равен наклону параболы в точке A(x1, y1) и B(x2, y2). Наклон параболы в точке (x, y) равен производной от уравнения параболы, то есть 2x.

Таким образом, наклон прямой AB равен наклону параболы в точках A и B: 2x1 = 2x2.

Деля оба уравнения на 2, получаем: x1 = x2.

Теперь мы можем записать произведение расстояний от вершин острых углов до оси Oy: x1 * x2 = x1 * x1 = x1^2 = y1.

Но мы знаем, что y1 = x1^2.

Таким образом, получаем: x1 * x2 = y1 = x1^2.

Поскольку у нас дано уравнение параболы y = x^2, мы знаем, что x1^2 = y1 = x2^2 = y2 = 1.

Таким образом, x1 * x2 = 1, что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что для