Question

Висота рівнобедренного трикутника проведена до основи дорівнює 18 см а радіусі писаного в нього кола 8 см Знайдіть периметр даного трикутника

Answer 1

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, высота ВД = 18 см и окружность r = ОД = 8 см..
Центр О окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте ВД, проведенной к основе.
Отрезок ВО = 18 - 8 = 10 см.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на боковую сторону АВ.
КВ = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36= 6 см.
Из подобия треугольников ВКО и АВД составим пропорции:
АД/ВД = ОК/ВК.
АД = (ВД*ОК)/ВК = (18*8)/6 = 24 см.
Сторона АС = 2АД = 2*24 = 48 см.
Другая пропорция: 6/10 = 18/АВ, отсюда АВ = (24*10)/8 = 30 см.
Находим периметр Р треугольника АВС:
Р = 2*30 + 48 = 108 см.

Answer 2

Позначимо рівнобедрений трикутник ABC, де AB = AC і CD - висота, яку ми знаємо дорівнює 18 см. Нехай O - центр кола, що описане навколо трикутника ABC, тоді OA = OB = OC = 8 см, оскільки радіус кола дорівнює 8 см.

Згідно з властивостями радіуса, проведеного до точки дотику, ми знаємо, що CD є середньою лінією трикутника AOB. Отже, AB = 2CD = 36 см.

Периметр трикутника ABC складається з суми довжин сторін, тобто P = AB + AC + BC. Але ми знаємо, що AB = AC = 36 см, оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, тому P = 36 + BC.

Залишилося знайти довжину BC. Розглянемо прямокутний трикутник BCD. Ми знаємо, що CD = 18 см і BC = r, де r - радіус кола, вписаного в трикутник ABC. За теоремою Піфагора, маємо:

BD^2 = CD^2 + BC^2

Оскільки BD є діаметром кола, описаного навколо трикутника ABC, то BD = 2r. Підставляючи ці значення, маємо:

(2r)^2 = 18^2 + r^2

4r^2 = 324 + r^2

3r^2 = 324

r^2 = 108

r = √108 = 6√3

Тому BC = r = 6√3.

Повертаючись до периметру, маємо:

P = 36 + BC = 36 + 6√3 ≈ 46.39 см.

Отже, периметр рівнобедренного трикутника, який має висоту 18 см і радіус писаного в нього кола 8 см, дорівнює близько 46.39 см.