Question

Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a+3b и 3a+b если IaI=IbI=1 угол (a^b)=30

Answer 1

Использованы свойства векторного произведения

Answer 2

Чтобы вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a + 3b и 3a + b, мы можем использовать формулу площади параллелограмма через модуль векторного произведения.

Площадь параллелограмма S выражается следующей формулой: S = |a + 3b| × |3a + b| × sin(θ),

где |a + 3b| и |3a + b| - длины векторов a + 3b и 3a + b соответственно, а sin(θ) - синус угла между векторами a + 3b и 3a + b.

Известно, что |a| = |b| = 1, и угол (a^b) (угол между векторами a и b) равен 30 градусам.

Давайте приступим к вычислениям:

Длина вектора a + 3b: |a + 3b| = √((a + 3b) · (a + 3b)),

где (a + 3b) · (a + 3b) - скалярное произведение вектора a + 3b на самого себя.

(a + 3b) · (a + 3b) = (a · a) + 2(a · 3b) + (3b · 3b), (a · a) = |a|^2 = 1^2 = 1, (3b · 3b) = 3^2(b · b) = 9 * 1 = 9, (a · 3b) = 3(a · b) * |a| * |b| * cos(θ), (a · b) = |a| * |b| * cos(θ) = 1 * 1 * cos(30°) = 1 * 1 * √(3)/2 = √(3)/2.

Подставляем значения: (a + 3b) · (a + 3b) = 1 + 2 * (3 * √(3)/2) + 9, (a + 3b) · (a + 3b) = 1 + 3√3 + 9 = 10 + 3√3.

Итак, |a + 3b| = √(10 + 3√3).

Аналогично вычисляем длину вектора 3a + b: |3a + b| = √((3a + b) · (3a + b)), (3a + b) · (3a + b) = (3a · 3a) + 2((3a · b) + (3a · b)) + (b · b).

Вычисляем: (3a · 3a) = 9(a · a) = 9 * 1 = 9, (3a · b) = 3(a · b) * |a| * |b| * cos(θ) = 3 * (√3/2) = 3√