Question

1)найти производную от: У= Log TgX по основанию 3 2)найти производную от: У=x^1/х

Answer 1

Y'=(log(3)(tgx))'=1/(tgx*ln3)*1/cos²x

y'=(x^1/x)'=1/x *x^(1/x-1) *(1/x)'=1/x *(-1/x²) *

x^(1/x-1)=-1/x³*x^(1/x-1)=-x^(1/x-4)

Answer 2

1. Чтобы найти производную функции У = log₃(tan(x)), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Для начала, обозначим функцию f(x) = tan(x), а затем g(x) = log₃(f(x)).

Теперь посчитаем производные от f(x) и g(x) по отдельности:

• Производная f(x): f'(x) = d/dx(tan(x))

• Производная g(x): g'(x) = d/dx(log₃(f(x)))

Затем мы применим правило дифференцирования сложной функции, которое гласит:

(g∘f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x)

Теперь найдем производные f(x) и g(x):

• Производная f(x): f'(x) = d/dx(tan(x)) = sec²(x)

• Производная g(x): g'(x) = d/dx(log₃(f(x))) = (1 / (f(x) * ln(3))) * f'(x)

Теперь мы можем объединить эти результаты и вычислить производную У = log₃(tan(x)):

У' = g'(x) * f'(x) = (1 / (f(x) * ln(3))) * f'(x) * sec²(x)

Итак, производная функции У = log₃(tan(x)) равна:

У' = (sec²(x)) / (tan(x) * ln(3))

2. Чтобы найти производную функции У = x^(1/x), мы воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и правилом дифференцирования сложной функции.

У = x^(1/x)

Логарифмируем обе стороны уравнения, используя натуральный логарифм ln:

ln(У) = ln(x^(1/x))

Применим свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a):

ln(У) = (1/x) * ln(x)

Теперь продифференцируем обе стороны уравнения по x:

d/dx(ln(У)) = d/dx((1/x) * ln(x))

Используем правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования логарифма:

(1/У) * У' = (-1/x²) * ln(x) + (1/x) * (1/x)

У' = (-У/x²) * ln(x) + (1/x²)

Таким образом, производная функции У = x^(1/x) равна:

У' = (-У/x²) * ln(x) + (1/x²)

Где У = x^(1/x) и ln - натуральный логарифм.