Question

Даю много баллов! Нужно решение, просто ответ не устроит! Найдите координаты(a,b) точки, лежащей на прямой 7x+5y=37 и наименее удалённой от начала координат. В ответ запишите a+b.

Answer 1

7x+5y=37; 5y=-7x+37; y=-7x/5+37/5

Угловой коэффициент прямой  равен -7/5, тогда угловой коэффициент прямой, которая ей перпендикулярна, -1/(-7/5)=5x/7

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку O(0;0) перпендикулярно прямой 7x+5y=37, имеет вид

y=5x/7

решаем систему из двух уравнений

{7x+5y=37

{y=5x/7

7x+5*5x/7=37

49x+25x=37*7

74x=259

x=259/74=3.5

y=5*3.5/7=2.5

координаты  точки, лежащей на прямой 7x+5y=37 и наименее удалённой от начала координат (3.5;2.5)

ответ 3.5+2.5=6

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой. Расстояние (d) от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 определяется как:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

В данном случае у нас есть прямая 7x + 5y = 37. Заметим, что A = 7, B = 5 и C = -37. Мы также знаем, что точка (x₀, y₀) наименее удалена от начала координат, когда расстояние (d) до прямой минимально.

Таким образом, нам нужно найти точку (x₀, y₀), для которой расстояние до прямой 7x + 5y = 37 будет минимальным. Это эквивалентно поиску точки, для которой значение |7x₀ + 5y₀ - 37| / √(7² + 5²) минимально.

Поскольку нам нужно, чтобы ответ был в виде a + b, давайте решим эту задачу:

7x + 5y = 37

Здесь коэффициенты A и B равны 7 и 5 соответственно, и C равно -37.

Для начала найдем расстояние (d) между началом координат (0, 0) и данной прямой:

d = |7 * 0 + 5 * 0 - 37| / √(7² + 5²) = |-37| / √74 = 37 / √74

Теперь воспользуемся формулами, чтобы найти координаты (x₀, y₀):

x₀ = (B * (B * 0 - A * C)) / (A² + B²) = (5 * (5 * 0 - 7 * -37)) / (7² + 5²) = (5 * (0 + 259)) / (49 + 25) = 1295 / 74

y₀ = (-A * (B * 0 - A * C)) / (A² + B²) = (-7 * (5 * 0 - 7 * -37)) / (7² + 5²) = (-7 * (0 + 259)) / (49 + 25) = -1813 / 74

Таким образом, координаты (x₀, y₀) равны (1295 / 74, -1813 / 74).

Итак, a + b = 1295/74 - 1813/74 = -518/74 = -259/37.

Ответ: -259/37.