Question

исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики y=(x-2)^2\x^2+4

Answer 1

Исследовать функцию f (x) = (x-2)²/(x²+4) и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = (x-2)²/(x²+4) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) =  (x-2)²/(x²+4) =  ((-x)-2)²/((-x)²+4) =  (-x-2)²/(x²+4) ≠ f(x) и 

f(–x) =  (x-2)²/(x²+4) =  ((-x)-2)²/((-x)²+4) =  (-(x+2))²/(x²+4) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0,  (x-2)²=0, x–2=0 ⇒ x=2/ Значит (2; 0) - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0, (0-2)²/(0²+4) = 4/4 = 1. Значит (0;1) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=(4(х²-4))/(х²+4)²) 

x²–4 =0 ⇒ х² = 4,  x = 2, x = -2 - критические точки.

Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =      -3          -2          0          2                 3
y' = 0,1183        0         -1          0           0,1183.

·       Минимум функции в точке: х = 2,

·       Максимум функции в точке: х = -2.

·       Возрастает на промежутках: (-∞; -2) U (2; ∞)

·       Убывает на промежутке: (-2; 2).

6. Вычисление второй производной: y''=(8x(x²-12))/((x²+4)³)/.

7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

    Приравняв нулю, находим 3 точки перегиба графика функции:

    8x(x²-12) = 0 , x = 0, х = 2√3 и х = -2√3.

      x =       -4       -3,4641       -1         0          1         3,4641        4
      y'' =   -0,016        0         0,704       0     -0,704           0        0,016

Имеем 4 интервала, (-∞; -2√3), (-2√3; 0), (0; 2√3) и (2√3; +∞).

Интервалы выпуклости или вогнутости определяем по знаку второй производной: где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:

·       Вогнутая на промежутках: (-∞; -2√3) и (0; 2√3).

·       Выпуклая на промежутках: (-2√3; 0) и (2√3; ∞).

9. Найдем значение функции в дополнительных точках:     они и график приведены в приложении.

Answer 2

Для исследования функции y=(x-2)^2/x^2+4 с помощью дифференциального исчисления необходимо вычислить ее производную и проанализировать ее свойства.

Найдем производную функции: y' = [(x^2+4)(2(x-2))-((x-2)^2)(2x)] / (x^2)^2 y' = [2x^3 - 8x^2 - 4x + 16] / x^4 y' = 2(x-2)(x^2-2x-8) / x^4

Затем найдем точки экстремума функции: y' = 0 => x = 2 или x = -2±2√3 При x = -2+2√3 и x = -2-2√3 функция имеет вертикальные асимптоты, так как знаменатель равен нулю.

Вычислим значения функции в найденных точках: y(-2+2√3) ≈ 2.95 y(-2-2√3) ≈ 2.95 y(2) = 1

Таким образом, точка (2, 1) является точкой минимума функции.

Теперь проанализируем поведение функции в окрестности найденных точек:

• В окрестности точки x = -2+2√3 функция возрастает на интервале (-∞, -2+2√3) и убывает на интервале (-2+2√3, 0), имеет вертикальную асимптоту и непрерывна на всей числовой прямой.
• В окрестности точки x = -2-2√3 функция убывает на интервале (-∞, -2-2√3) и возрастает на интервале (-2-2√3, 0), имеет вертикальную асимптоту и непрерывна на всей числовой прямой.
• В окрестности точки x = 2 функция убывает на интервале (-∞, 2) и возрастает на интервале (2, ∞), имеет точку минимума в точке (2, 1) и непрерывна на всей числовой прямой.

Построим график функции:

На графике видно, что функция имеет вертикальные асимптоты при x = -2+2√3 и x = -2-2√3, и точку минимума в точке (2, 1).