Question

Составить квадратное уравнение по его корням: x1=1+i√3; x2=1-i√3

Answer 1

$x^2+px+q=0\; \; \Rightarrow \; \; \left \{ {{x_1\cdot x_2=q} \atop {x+x_2=-p}} \right. \\\\x_1=1+i\sqrt3\; ,\; \; x_2=1-i\sqrt3\\\\\\q=x_1\cdot x_2=(1+i\sqrt3)(1-i\sqrt3)=\\\\1-i\sqrt3+i\sqrt3-i^2\cdot 3=1+3=4\; \; \; \; \; \; (i^2=-1)\\\\\\-p=x_1+x_2=1+i\sqrt3+1-i\sqrt3=2\; \; \Rightarrow \; \; p=-2\\\\\\\underline {x^2-2x+4=0}$

Answer 2

Если $x_1=1+i\sqrt{3}$ и $x_2=1-i\sqrt{3}$ являются корнями квадратного уравнения, то мы можем записать это уравнение в виде:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

где $x$ - переменная, а $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения.

Раскрыв скобки, мы получим:

$(x-1-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})=0$

Распишем левую часть этого уравнения:

$x^2 - x(1+i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3})+(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=0$

Упрощая выражение, мы получим:

$x^2-2x+4=0$

Таким образом, квадратное уравнение, имеющее корни $x_1=1+i\sqrt{3}$ и $x_2=1-i\sqrt{3}$, равно:

$x^2-2x+4=0$