Question

Найти периметр треугольника. вершинами которого служат : вершина параболы 3y^{2}=16x, её фокус и точка на параболе, ордината которой равна -4

Answer 1

Дана параболы 3y²=16x.

В каноническом виде y² = 2px её уравнение будет иметь вид:

y²=2*(8/3)*x.

Вершина А её в начале координат: А (0; 0).

Фокус В на оси Ох при х = (р/2). Точка В ((4/3); 0)

Чтобы найти абсциссу точки С на параболе, ордината которой равна -4, выразим уравнение относительно х:

х = (3/16)у² = (3/16)*(-4)² = 3. Точка С(3; -4).

Находим длины сторон.

АВ = 4/3.

ВС = √((3-(4/3)² + (-4-0)²) = √((25/9) + 16) = 13/3.

АС = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Периметр Р = (4/3 + (13/3) + 5 = (17/3) + 5 = 32/3.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти координаты вершины параболы, ее фокуса и точки с ординатой -4. Затем мы можем найти длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между точками, и, наконец, сложить их, чтобы найти периметр.

1. Найдем координаты вершины параболы. Для этого сначала перепишем уравнение параболы в виде y^2 = (16/3)x. Затем заметим, что вершина параболы находится в точке с координатами (0,0), так как это самая высокая точка на параболе.

2. Найдем координаты фокуса параболы. Фокус параболы находится на расстоянии p = 1/4 от вершины параболы, где p - фокальный параметр. Формула для нахождения координат фокуса (a,0) для параболы, заданной уравнением y^2 = 4ax, где a = 4/p, выглядит как (a,0) = (p,0). В нашем случае, фокальный параметр p = 1/4, поэтому координаты фокуса равны (1/4,0).

3. Найдем координаты точки на параболе с ординатой -4. Подставим y = -4 в уравнение параболы 3y^2 = 16x и решим относительно x: x = 3(-4)^2/16 = 3. Значит, координаты этой точки равны (3, -4).

4. Теперь мы можем найти длины сторон треугольника. Сторона треугольника, соединяющая вершину параболы и точку с ординатой -4, имеет длину L1 = sqrt((3-0)^2 + (-4-0)^2) = 5. Сторона треугольника, соединяющая вершину параболы и фокус, имеет длину L2 = sqrt((1/4-0)^2 + (0-0)^2) = 1/4. Сторона треугольника, соединяющая фокус и точку с ординатой -4, также имеет длину L3 = sqrt((3-1/4)^2 + (-4-0)^2) = sqrt(177)/4.

5. И, наконец, периметр треугольника равен P = L1 + L2 + L3 = 5 + 1/4 + sqrt(177)/4.