Question

Найдите все нецелые числа x,y,z, такие, что x+y=5xy,x+z=6xz,y+z=7yz

Answer 1

Ответ:

(1/5; 1/7; 1/6) && (1/6; 1/5; 1/7)

Пошаговое объяснение:

x + y = 5xy

x + z = 6xz

y + z = 7yz

_________

(5x - 1)(5y - 1) = 0

(6x - 1)(6z - 1) = 0

(7y - 1)(7z - 1) = 0

_____

1) 5x - 1 = 0

x = 1/5

=> 6z - 1 = 0 => z = 1/6

=> 7y - 1 = 0 => y = 1/7

2) 5y - 1 = 0

y = 1/5

=> 7z - 1 = 0 => z = 1/7

=> 6x - 1 = 0 => x = 1/6

Answer 2

Рассмотрим уравнения x+y=5xy, x+z=6xz и y+z=7yz. Обратим внимание, что в каждом уравнении участвует две переменные, поэтому мы можем попытаться связать эти уравнения между собой.

Разрешим первое уравнение относительно y:

y = (x - 1)/(5x)

Подставим это выражение для y в уравнения x+z=6xz и y+z=7yz:

x + z = 6xz

(x - 1)/(5x) + z = 7z(x - 1)/(5x)

5x(x + z) = 30xz

x + z = 6x

z = 5x

Теперь мы можем использовать это выражение для z и первое уравнение, чтобы найти x:

x + y = 5xy

x + (x - 1)/(5x) = 5x(x - 1)/(5x)

5x^2 + x - 1 = 5x^2 - 5x

6x = 1

x = 1/6

Подставим найденное значение x в уравнения для y и z:

y = (1/6 - 1)/(5/6) = -1/4

z = 5(1/6) = 5/6

Таким образом, все решения системы уравнений имеют вид (1/6, -1/4, 5/6) и их перестановки.