Question

Медиана AM и биссектриса BK треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = 2 OK. Верно ли, что треугольник ABC равнобедренный? Ответ обоснуйте.

Answer 1

По условию в треугольнике АВС, медиана АМ и биссектриса ВК - пересекаются в точке О, и ВО=2ОК. По свойству медиан треугольника они пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая отвершины, значит биссектриса ВК- является и медианой треугольника АВС. По св-ву равнобедренного треугольника медиана проведеная к основанию является биссектрисой и высотой, значит ВК-медиана, биссектриса и высота, следовательно треугольник АВС - равнобедренный. что и требовалось доказать.

Answer 2

Есть такое свойство, что если медиана и бессиктриса пересекаются в отношении 2 :1, то треугольник будет равносторонний. Здесь видим ВО:ОК=2:1, отношение есть, значит ABC-равносторонний, что есть частный случай равнобедренного. Значит,  ABC - равнобедренный

Answer 3

Для доказательства или опровержения равнобедренности треугольника ABC нам нужно установить равенство двух сторон треугольника.

Обозначим точку пересечения медианы AM и биссектрисы BK как точку O. По условию, BO = 2OK.

Возьмем AO и OC как половины сторон AB и BC соответственно, так как точка M является серединой стороны AB. То есть, AO = OC.

Рассмотрим треугольник BOK. Поскольку BO = 2OK, угол BKO должен быть меньше угла BOK, так как сторона BK соответствует большему углу.

Из равенства AO = OC следует, что угол BAO равен углу BCO. Также угол BAO равен углу BKO (по свойству биссектрисы), а угол BCO равен углу BOK (по свойству медианы).

Из полученных равенств следует, что углы BKO и BOK равны между собой. Но по условию BO = 2OK, что означает, что сторона BK соответствует углу BKO, являющемуся большим углом.

Это противоречит свойствам равнобедренного треугольника, где биссектриса должна делить угол на два равных угла, а медиана делит сторону на две равные части.

Таким образом, мы приходим к выводу, что треугольник ABC не является равнобедренным.