Question

1)Найти длину промежутка возрастания функции y=-\frac{1}{3} x^{3} +\frac{1}{2} x^{2} +2x-5 2)Найти f_{x} ^{{'} } (2,1), если f(x,y)=(x^{2} y-x+2y)^{2}

Answer 1

Создадим формулу квадрат суммы, добавив 2sin²x*cos²x.
sin⁴x+2sin²x*cos²x+sin⁴x-2sin²x*cos²x=sinx*cosx
(sin²x+cos²x)² - 2sin²x*cos²x-sinx*cosx=0
1²-1/2 *4sin²x*cos²x -1/2 *2sinx*cosx=0
1-1/2 sin²2x-1/2sin 2x =0 умножим на -2
sin²2x +sin²2x-2=0
D=9
sin 2x=1 или sin 2x=-2
2x = π/2 + 2πn. n∈Z
x=π/4 + πn, n∈Z . В градусах х=45.

Answer 2

1. Чтобы найти длину промежутка возрастания функции y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 2x - 5, нужно найти точки, где производная функции положительна.

Сначала найдём производную функции y по x: y' = (-1/3)(3x^2) + (1/2)(2x) + 2 = -x^2 + x + 2

Чтобы найти точки, где производная положительна, решим неравенство -x^2 + x + 2 > 0.

-x^2 + x + 2 = 0 Решим это квадратное уравнение: x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная может изменить знак: x = 2 и x = -1.

Построим таблицу знаков: x | -∞ | -1 | 2 | +∞

y' | - | + | - | -

Из таблицы видно, что производная положительна на интервале (-∞, -1) и (2, +∞).

Таким образом, длина промежутка возрастания функции y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 2x - 5 равна ∞.

2. Чтобы найти f'_x(2, 1) для функции f(x, y) = (x^2y - x + 2y)^2, нужно взять частную производную по x и подставить значения x = 2 и y = 1.

Частная производная f по x: f'_x = 2(x^2y - x + 2y)(2xy - 1)

Подставляем x = 2 и y = 1: f'_x(2, 1) = 2((2^2)(1) - 2 + 2(1))(2(2)(1) - 1) = 2(4 - 2 + 2)(4 - 1) = 2(4)(3) = 24

Таким образом, f'_x(2, 1) = 24.