Question

Решить уравнение: 4^x - 10 * 2^(x-1) - 24 = 0

Answer 1

2^2x - 10 * 2^x/2 -24=0
Пусть t=2^x, где t>0, тогда
t^2-5t-24=0
D=25+96=121
t1=5-11/2=-3 посторонний корень
t2=16/2=8
Вернёмся к замене
2^x=8
2^x=2^3
x=3
Ответ: 3

Answer 2

Для решения данного уравнения с использованием алгебраических методов, давайте преобразуем его:

4^x - 10 * 2^(x-1) - 24 = 0

Мы можем заметить, что 4 = 2^2, поэтому преобразуем уравнение:

(2^2)^x - 10 * 2^(x-1) - 24 = 0

2^(2x) - 10 * 2^(x-1) - 24 = 0

Теперь мы можем заменить 2^(x-1) на (2^x)/2:

2^(2x) - 10 * (2^x)/2 - 24 = 0

2^(2x) - 5 * 2^x - 24 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно 2^x. Давайте введем новую переменную y = 2^x:

y^2 - 5y - 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

(y - 8)(y + 3) = 0

Из этого получаем два возможных значения для y:

y - 8 = 0 => y = 8 или y + 3 = 0 => y = -3

Теперь вернемся к исходному уравнению и решим для x, используя найденные значения для y:

2^x = 8

По определению, 2^3 = 8, поэтому x = 3 является одним из решений.

2^x = -3

Здесь нет реальных значений для отрицательной степени, поэтому это решение является нереальным.

Итак, уравнение имеет одно реальное решение:

x = 3