Question

Найдите сумму корней уравнения x^2+px+6=0 если квадрат разности его корней равен 40

Answer 1

(x1+x2)-?
$\left \{ {{ (x1-x2)^{2} =40} \atop {x1x2=6}} \right.$
$(x1)^2-2x1x2+ (x2)^{2} =40$
$(x1)^2+(x2)^2-2*6=40$
$(x1)^2+(x2)^2=52$
$(x1+x2)^2-2x1x2=52$
$(x1+x2)^2-12=52$
$(x1+x2)^2=64$
x1+x2=8 сумма корней уравнения

Answer 2

Для данного уравнения x^2 + px + 6 = 0, мы знаем, что квадрат разности его корней равен 40. Обозначим корни как x1 и x2. Тогда у нас есть два уравнения:

1. x1 + x2 = -p (сумма корней равна -p)
2. (x1 - x2)^2 = 40 (квадрат разности корней равен 40)

Разложим второе уравнение:

(x1 - x2)^2 = 40 x1^2 - 2x1x2 + x2^2 = 40

Заметим, что x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-p)^2 - 2x1x2 = p^2 - 2x1x2.

Теперь мы можем заменить это в уравнении:

p^2 - 2x1x2 = 40

Мы знаем также, что x1 + x2 = -p. Заменим это вторым уравнением:

p^2 - 2(-p)x1 = 40 p^2 + 2px1 = 40 px1 = 40 - p^2

Теперь, используя первое уравнение x1 + x2 = -p, можем найти x2:

x2 = -p - x1 x2 = -p - (40 - p^2)/p x2 = -(p^2 + 40)/p

Сумма корней равна:

x1 + x2 = -p + -(p^2 + 40)/p x1 + x2 = (-p^2 - p^3 - 40)/p

Таким образом, сумма корней уравнения x^2 + px + 6 = 0 равна (-p^2 - p^3 - 40)/p.