Question

Биссектриса угла C треугольника ABC делит угол между медианой и высотой пополам. Докажите, что угол C- прямой

Answer 1

А медиана и высота с угла С проведена?

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами биссектрисы, медианы и высоты треугольника.

Пусть биссектриса угла C треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D. Тогда мы имеем следующую информацию:

1. Биссектриса угла C делит угол между медианой и высотой пополам. Поэтому угол ACD равен углу DCH, где H - основание высоты, опущенной из вершины C.

2. Так как H - основание высоты, то медиана из вершины C также является высотой. Следовательно, угол BCH также равен углу DCH.

Из пунктов 1 и 2 следует, что угол ACD равен углу BCH.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Он имеет две равные стороны (AC и CD) и равные углы ACD и ADC (так как AD - биссектриса угла C).

Из равенства сторон и углов следует, что треугольник ACD является равнобедренным треугольником. Следовательно, угол CAD равен углу ADC.

Таким образом, у нас есть:

угол ACD = угол BCH (из пункта 1)

угол CAD = угол ADC (из равнобедренности треугольника ACD)

Но угол CAD + угол ACD = угол BAC (сумма углов треугольника ABC)

Тогда угол BAC = угол BCA (из равенства углов CAD и ADC) + угол BCH (из равенства углов ACD и BCH).

Таким образом, угол BAC равен сумме углов BCA и BCH.

Из свойств треугольника следует, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поэтому:

угол BAC + угол BCA + угол BCH = 180 градусов.

Но мы знаем, что угол BAC равен сумме углов BCA и BCH.

Значит, угол BCA + BCH + BCA = 180 градусов.

Сокращаем два угла BCA:

2 * угол BCA + BCH = 180 градусов.

Следовательно, угол BCH = 180 градусов / 2 = 90 градусов.

Таким образом, угол C является прямым углом.