Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. y=4-x^2, y=x^2-2x

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл площади между ними. Давайте найдем точки пересечения кривых.

Исходные уравнения: y = 4 - x^2 ... (1) y = x^2 - 2x ... (2)

Для нахождения точек пересечения, приравняем правые части уравнений: 4 - x^2 = x^2 - 2x

Перенесем все термины в одну часть уравнения: 2x^2 - 2x - 4 = 0

Разделим уравнение на 2: x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизуем: (x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x - 2 = 0 => x = 2 x + 1 = 0 => x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в любое из исходных уравнений. Возьмем уравнение (1): y = 4 - x^2

Подставим x = 2: y = 4 - (2)^2 y = 4 - 4 y = 0

Подставим x = -1: y = 4 - (-1)^2 y = 4 - 1 y = 3

Итак, мы получили две точки пересечения: (2, 0) и (-1, 3). Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, путем вычисления определенного интеграла площади между этими точками.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, можно использовать следующую формулу:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - уравнения кривых, а [a, b] - интервал, на котором определена площадь фигуры.

В данном случае мы имеем: f(x) = 4 - x^2 g(x) = x^2 - 2x [a, b] = [-1, 2]

Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[-1, 2] (4 - x^2 - (x^2 - 2x)) dx